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Bloch 定理：周期性波函数满足
$$
\psi(x+a)=e^{\text{i}Ka}\psi(x)
$$
其中这里的 $K$ 并不对应动能，而是晶格所代表的空间周期的体现.

> 证明是考虑 $Df(x)=f(x+a)$，利用势能的周期性 $V(x)=V(x+a)$ 来计算.

如果移动了 $n$ 个单元，那么 $\psi(x+Na)=e^{\text{i}K\cdot Na}\psi(x)$，周期性边界条件要求 $K\cdot Na=2\pi$，就能确定
$$
K=\frac{2\pi n}{Na},\quad n\in\mathbb{Z}
$$
在经典的极限下，$N\to\infty$，整个固体是连续的.

***

Dirac Comb (梳子)：考虑势能是在整点出现的 $\delta$ 函数，其他地方为零.
$$
V(x)=\alpha\sum\_{j=0}^N\delta(x-ja)
$$
在每一个势阱位置，$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$，$k=\sqrt{2mE/\hbar^2}$. 连接点的条件是波函数连续、一阶导数相差一个特定值：
$$
\psi(0^+)=\psi(0^-),\quad \psi'(0^+)-\psi'(0^-)=\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)
$$
化简为 —— 色散关系：
$$
\cos Ka=\cos ka+\frac{m\alpha}{\hbar^2k}\sin ka
$$
定义两个无量纲参数，
$$
z\equiv ka,\quad \beta\equiv\frac{m\alpha a}{\hbar^2}\Longrightarrow\cos Ka=f(z)=\cos z+\beta\frac{\sin z}{z}
$$
方程如图所示，

![](https://vip.123pan.cn/1845440081/ymjew503t0l000d7w32xjt1lo7ysnvknDIYxAIFxDda1DGxPDwUzAa==.png)

只有在某些区间才存在解，这些区间就是「能带」. 如果能带之间相互导通，那么就是导体；反之为半导体或者绝缘体.

***

## Nondegenerative Perturbation

认为 Hamiltonian 写作 $H=H\_0+\lambda H'$，这里的 $\lambda H'$ 是微扰的部分，展开各种量：
$$
E\_n=E\_n^0+\lambda E\_n^1+\lambda^2E\_n^2+\cdots,\quad \psi\_n=\psi\_n^0+\lambda\psi\_n^1+\lambda^2\psi\_n^2+\cdots
$$
方程 $H\psi\_n=E\_n\psi\_n$ 中，$\lambda$ 同幂次的项系数必须相等，比如一阶
$$
H\_0\psi\_n^1+H'\psi\_n^0=E\_n^0\psi\_n^1+E\_n^1\psi\_n^0
$$
两边同时作用一个 $\langle\psi\_n^0|$，则
$$
\braket{\psi\_n^0|H\_0\psi\_n^1}+\braket{\psi\_n^0|H'\psi\_n^0}=E\_n^0\braket{\psi\_n^0|\psi\_n^1}+E\_n^1\braket{\psi\_n^0|\psi\_n^0}
$$
而 $H\_0$ 是一个 Hermite 的算符，可以作用在前后，两者等价，
$$
\braket{\psi\_n^0|H\_0\psi\_n^1}=\braket{H\_0\psi\_n^0|\psi\_n^1}=E\_n^0\braket{\psi\_n^0|\psi\_n^1}
$$
和 RHS 的第一项相消，也就有
$$
E\_n^1=\braket{\psi\_n^0|H'|\psi\_n^0}
$$
所以我们可以完全由零阶的波函数确定微扰产生的能量.

另一个式子是
$$
(E\_n^0-H\_n^0)\psi\_n^1=-(E\_n^1-H')\psi\_n^0
$$
可以得到
$$
\sum\_{m\neq n}(E\_n^0-H\_n^0)c\_{mn}\psi\_m^0=(E\_n^1-H')\psi\_n^0
$$
系数为
$$
c\_{mn}=\frac{\braket{\psi\_m^0|H'|\psi\_n^0}}{E\_n^0-E\_m^0}
$$
同理，可以计算二阶能量的修正，为
$$
E\_n^2=\sum\_{m\neq n}\frac{|\braket{\psi\_m^0|H'|\psi\_n^0}|^2}{E\_n^0-E\_m^0}
$$