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## 解码复杂性：量子多体系统与张量网络

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—— 杨硕

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张量网络态是多体量子态的一种简化表示，在解析上可以刻画系统内部的纠缠结构和关联性质，数值上相比传统的 Monte-Carlo，能够规避一些符号问题.

参考论文：

> F. Verstraete, J.I. Cirac, and V. Murg, arXiv: 0907.2796.
>
> U. Schollwoeck, arXiv: 1008.3477.
>
> R. Orus, arXiv: 1306.2164.
>
> N. Schuch, arXiv: 1306.5551.
>
> J. C. Bridgeman and C. T. Chubb, arXiv: 1603.03039.
>
> J. Biamonte and V. Bergholm, arXiv: 1708.00006.
>
> J. Hauschild, F. Pollmann, arXiv: 1805.00055.
>
> R. Orus, arXiv: 1812.04011.
>
> J.I. Cirac, D. Perez-Garcia, N. Schuch, F. Verstraete, arXiv:2011.12127.

* New progress (update daily)
  http://quattro.phys.sci.kobe-u.ac.jp/dmrg/condmat.html

  > 这是一个日本的教授，每天读这个领域的文章然后更新这个网站.

* Graduate course: Selected Topics in Computational Quantum Physics

  研究生课：量子物理计算方法选讲

一个张量 $M\_{ij}$ 视为一个有 $i$ 和 $j$ 两个连接头的元件，张量之间、张量与矢量之间连接，就是把它们的对应指标缩并.

奇异值分解 $M=NDV^+$ 表现为把一个双头元件分解为三个元件；求 trace 表现为把张量的两个头接在一起，所以 $\text{tr}(MNP)$ 对应一根线上串着三个珠子，不管怎么换顺序都得到相同结果，所以张量网络直观地可以做数学计算.

同时还有张量的变形，比如我们可以用 `numpy.reshape` 把一个三阶张量的两个线头「捏」在一起.

在量子多体系统中，一个多体的波函数 $\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\uparrow\cdots$ 可以被写成一个张量.

一个量子态可以奇异值分解为 $C=USV$. 其中左右的 $U$ 和 $V$ 都是幺正的，可以被缩并成一个 identity，整个系统被拆开，实际上所有的纠缠态信息都包含在 $S$ 上.

两边的密度矩阵可以由缩并计算，最后能够算出纠缠熵：
$$
S=-\text{tr}\[\rho\_A\ln\rho\_A]=\text{tr}\[\rho\_B\ln\rho\_B]=-\sum\_{\alpha}s\_\alpha^2\ln s\_\alpha^2
$$
比如
$$
\rho=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1&0\0&1
\end{pmatrix}
$$
是两个 $1/2$ 自旋的完全纠缠态，纠缠熵为
$$
S=-\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}=\ln 2
$$
如果是 $D$ 个可取的态，最大的纠缠熵是 $\ln D$.

举一个例子讲奇异值分解的作用：

> 一张图片的像素是 $A\times B$，按照每个像素的颜色 (假设是一张黑白照片) 可以写出一个矩阵.
>
> 做奇异值分解之后，取截断，只保留最大的那些奇异值 (可以取一个截断范围)，最后乘回来之后，我们得到的图片更加模糊，但是最重要的信息被保留.

面积定律：把多体量子系统中的一块区域框出来，计算里面和外面的纠缠，发现在没有能隙的系统中里面和外面的纠缠强度正比于「框」的周长.

张量网络的构建基于这个面积定律，我们先画出很多纠缠对，然后用「框」来框住我们要化为张量的单元，用投影算符把几个单元并到一起，作为一个张量.

对于一个量子多体系统，我们也用截断来处理整体的维度，按照维度奇异值分解之后，只保留最重要的 $D$ 个维度，整体的波函数性质和真实的波函数应该是非常相似的，但是可变化的参数从原来的指数增长 ($2^D$) 变为了线性增长 ($n\cdot D$).

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## 量子多体系统的非平衡物理

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—— 孙志远

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我们从三体运动出发 $\Longrightarrow$ 模拟一个多体系统是不可能的. 因此在凝聚态中我们利用统计方法来研究，而且主要研究非平衡态的系统.

放大等离基元：光脉冲在其中不衰减而是放大，因为存在增益介质.

扭转激子绝缘体：有一类特殊的半导体在基态就有很多激子，我们可以实现激子的扭转，从序参量的一个态跳到另一个态.

光致超导：实验上还没有复现，但是理论上可以说明. 我们知道有电荷密度波和超导两种状态相互竞争，电荷密度波可以视为一种晶体，当超快激光加热电子时，这种「晶体」会融化，在之后的冷却过程中，电子可能形成超导态或者回到电荷密度波. 电荷密度波的能量更低，但是形成更慢，所以在高速冷却下会在体系中生长出很多小的超导态，同时因为竞争，后续的电荷密度波难以形成.

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Pondermotive Force (旁踱力)：光镊的原理，实际上就是高频力.

旁踱力能够产生光致超导的第二个机制.

如果把超导体放在一个 Fabry-Perot 腔内，可以利用旁踱力来实现对超导体的调控.