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::: tip

这节课没记什么笔记，主要是整节课都在讲电像法的一些推导，问题是这些大家早已烂熟，于是几乎没记.

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上节课说了静电场中的一个介质球. 如果换成导体球 ($\varepsilon\to\infty$)，则内部没有电场.

## 电像法

对于导体，我们经常使用的方法是电像法.

(一) 界面为无限大平面：

> 电像就是直接把导体板外的点电荷镜像到另一侧来模拟导体板有电荷一侧的电场分布.

(二) 界面为球面：

> 若球外电荷距离球心 $a$，导体球半径 $R\_0$，则像电荷距离球心
> $$
> b=\frac{R\_0^2}{a}
> $$
> 像电荷电荷大小为
> $$
> Q'=-\frac{R\_0}{a}Q
> $$
>
> ***
>
> 如果球接地，那么就已经可以描述球外电场；但是如果球不接地，因为电荷守恒，还要再在球心加上一个电荷保证球的总电荷为零.
>
> ***
>
> 如果点电荷在球内部，那么我们只能把像电荷放在球外，位置关系仍然满足反演的关系；但是这里我们描述的是导体球壳内部的电场. 对于导体球壳外部，如果导体球壳接地，那么球外的电场等效于在球壳中心存在一个电荷量为 $Q$ 的点电荷.

## 多极展开

所谓的多极展开就是一种 Taylor 展开的应用，具体而言，要「分清问题的主次」.

对于偶极子，有
$$
\vec{F}=(\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E}
$$
我们知道对于一个标量函数，Taylor 展开是
$$
f=f(0)+(\vec{r}\cdot\nabla)f(0)+\frac{1}{2!}(\vec{r}\cdot\nabla)^2f(0)+\cdots
$$