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固有时间：
$$
\text{d}\tau = -\frac{1}{c^2}\text{d}x\_\mu\text{d}x^\mu
$$
四维微商算符：
$$
\partial\_\mu\equiv\left(\nabla,\frac{1}{\text{i}c}\frac{\partial}{\partial t}\right)
$$
四维速度定义为
$$
U\_\mu\equiv\gamma\left(\vec{v},\text{i}c\right)
$$
由四维的微商算符，可以定义 d'Alembert 算符，
$$
\Box^2\equiv\partial\_\mu\partial^\mu = \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}
$$
引入四维电流和四维磁矢势，
$$
j\_\mu\equiv(\vec{j},\text{i}c\rho),\quad A\_\mu\equiv\left(\vec{A},\frac{\text{i}\varphi}{c}\right)
$$
则电荷守恒和 Lorentz 规范分别写为
$$
\partial^\mu j\_\mu=0,\quad\partial^\mu A\_\mu=0
$$
电磁学基本规律可以合并：
$$
\nabla^2\varphi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon\_0},\quad\nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=-\mu\_0\vec{j}\Longrightarrow \Box^2A\_\mu = -\mu\_0j\_\mu
$$
因为电磁场场量和势之间满足关系
$$
\vec{E} = -\nabla\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},\quad \vec{B}=\nabla\times\vec{A}
$$
引入一个反对称二阶张量 $F\_{\mu\nu}=\partial\_\mu A\_\nu-\partial\_\nu A\_\mu$，可以很好地描述电磁场场量：
$$
F\_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
0\&B\_z&-B\_y&-\text{i}E\_x/c\\
-B\_z&0\&B\_x&-\text{i}E\_y/c\\
B\_y&-B\_x&0&-\text{i}E\_z/c\\
\text{i}E\_x/c&\text{i}E\_y/c&\text{i}E\_z/c&0
\end{pmatrix}
$$
电磁场张量的变换为
$$
F'*{\alpha\beta} = L^{\mu}*{,,\alpha}L^{\nu}*{,,\beta}F*{\mu\nu}
$$
在三维形式下，我们可以写成：
$$
\left{\begin{aligned}
\&E\_x'=E\_x\\\\
\&E\_y'=\gamma(E\_y-vB\_z)\\\\
\&E\_z'=\gamma(E\_z+vB\_y)
\end{aligned}\right.,\quad \left{\begin{aligned}
\&B\_x'=B\_x\\\\
\&B\_y'=\gamma\left(B\_y+\frac{v}{c^2}E\_z\right)\\\\
\&B\_z'=\gamma\left(B\_z-\frac{v}{c^2}E\_y\right)
\end{aligned}\right.
$$
矢量形式写成
$$
\begin{aligned}
&\vec{E}' = \gamma(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})-\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{\vec{v}}{c}\left(\frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{E}\right)\\\\
&\vec{B}' = \gamma\left(\vec{B}-\frac{\vec{v}\times\vec{E}}{c^2}\right)-\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{\vec{v}}{c}\left(\frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{B}\right)
\end{aligned}
$$
由此，利用 Lorentz 公式可以引入四维力密度：
$$
f\_\mu = \left(\rho\vec{E}+\vec{j}\times\vec{B},\frac{\text{i}}{c}W\right)
$$