--- url: /cosmos/lesson-13/index.md --- 从这节课开始讲星系，理论推导会变得稍微少一点. 如果对于星系比较感兴趣，可以学习几门研究生课程，比如 CGM (星际介质)、星系动力学等等. ## 线性微扰理论 大爆炸后 38 万年，宇宙产生原初涨落. 物理上的方程，在一阶的近似下都是线性的，所以我们一开始要来讲线性的微扰理论. 对于宇宙的物质结构，显然在今天我们能够把大尺度范围的宇宙物质分布看成一个连续场. 现在我们把宇宙物质分布处理为一个连续的流体： ::: tip 夏天，北极熊站在海边，等着三文鱼从水中跳出来，就可以很容易地抓到鱼；这时，北极熊是一个 observer，它关注的是“三文鱼”流体的密度 $\rho(\vec{r},t)$、速度 $\vec{u}(\vec{r},t)$、压强 $P(\vec{r},t)$ (决定了鱼出来的“强度”). 这里，$\vec{r}$ 是物理坐标，$t$ 是时间. ::: 描述流体的方程有以下几个： * 连续性方程： $$ \frac{\text{D}\rho}{\text{D}t}+\rho\nabla\_{\vec{r}}\cdot\vec{u}=0 $$ 这里，$\text{D}$ 是 Lagrangian derivative，指的是 $$ \frac{\text{D}}{\text{D}t}:=\underset{\text{Eulerian derivative}}{\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|*{\vec{r}}}+\underset{\text{due to the streaming}}{\vec{u}\cdot\nabla*{\vec{r}}} $$ * Euler 方程： $$ \frac{\text{D}\vec{u}}{\text{D}t}=-\frac{\nabla\_{\vec{r}}P}{\rho}-\nabla\_{\vec{r}},\phi $$ 其中 $\phi=\phi(\vec{r},t)$ 为势能. * Poisson 方程： $$ \nabla^2\_{\vec{r}},\phi=4\pi G\rho $$ (这个方程仅仅对引力势成立，来源于 Newton 的引力公式) * 到这里为止我们还差一个方程，因此对于特定的流体，还要引入物态方程：$P=P(\rho)$. 在一个膨胀的宇宙中，某点物理坐标 $\vec{r}$ 不是一个常数，所以我们在研究这类问题时必须换成共动坐标 $\vec{x}$. 已经知道，$\vec{r}=a(t)\vec{x}$，对于 $\vec{u}$，应该改写成： $$ \vec{u}=\underset{\text{Hubble flow}}{\dot{a}(t)\vec{x}}+\vec{v} $$ 其他的改写： $$ \begin{aligned} \nabla\_{\vec{r}}&=\frac{1}{a(t)}\nabla\_{\vec{x}}\\\\ \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|*{\vec{r}}&=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|*{\vec{x}}-\frac{\dot{a}}{a}\vec{x}\cdot\nabla\_{\vec{x}} \end{aligned} $$ 以下省略下标 $\vec{x}$. 引入线性微扰：$\rho(\vec{x},t)=\rho(t)\[1+\delta(\vec{x},t)]$，上面的流体力学方程改写为： * 连续性方程： $$ \frac{\partial\delta}{\partial t}+\frac{1}{a}\nabla\cdot(1+\delta)\vec{v}=0 $$ * Euler 方程： $$ \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\frac{\dot{a}}{a}\vec{v}+\frac{1}{a}(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=-\frac{\nabla P}{a\bar\rho(1+\delta)}-\frac{\nabla\Phi}{a} $$ * Poisson 方程： $$ \nabla^2\Phi=4\pi G\bar\rho a^2\delta $$ 修正的引力势是： $$ \Phi(\vec{x},t)=\phi+\frac{1}{2}a\ddot{a}|\vec{x}|^2 $$ ::: tip 值得注意的是，$\vec{v}=a(t)\dot{\vec{x}}$ 不是共动坐标中的速度，而是一个物理上的速度. ::: 对于理想气体，有物态方程： $$ P=nk\_BT=\frac{\rho}{\mu m\_p}k\_BT $$ ($\mu$ 是平均分子量) 比内能： $$ \epsilon = \frac{1}{\gamma-1}\frac{k\_BT}{\mu m\_p} $$ 若是单原子分子气体，$\gamma=5/3$，于是比内能是 $\epsilon=3P/2\rho$，代入热力学基本方程： $$ \begin{aligned} \text{d}\left(\frac{P}{\rho}\right)&=\frac{2}{3}\text{d}\epsilon=\frac{2}{3}\left\[T\text{d}S-P\text{d}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right]\\\\ \Longrightarrow\frac{\text{d}P}{\rho}&=\frac{2\mu m\_p}{3k\_B}\text{d}S+\frac{5}{3}\text{d}\ln\rho\\\\ \Longrightarrow P(\rho,S)&\propto\rho^{5/3}\exp\left(\frac{2\mu m\_p}{3k\_B}S\right)\\\\ \Longrightarrow\frac{\nabla P}{\bar\rho}&=\frac{1}{\bar\rho}\left\[\left(\frac{\partial P}{\partial\rho}\right)*S\nabla\rho+\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)*\rho\nabla S\right]\\\\ &=c\_S^2\nabla\delta+\frac{2}{3}T(1+\delta)\nabla S \end{aligned} $$ 其中 $c\_S$ 是声速. 这样就把 Euler 方程的 $\text{RHS}$ 更换为上面的一个量. 到目前为止，未知量有 $\delta(\vec{x},t)$，$\vec{v}(\vec{x},t)$ (本动速度)，$\Phi(\vec{x},t)$ 和 $S(\vec{x},t)$ 五个，方程则有：连续性方程、Euler 方程的三个分量方程和 Poisson 方程，恰好可以解出答案. 现在，为了解决这几个方程，我们需要进行线性化：思路是，涨落 $\delta\ll 1$. 而本动速度 $\vec{v}=a(t)\dot{\vec{x}}$ 完全是由涨落引起的，因此也是一个小量；同理，$\nabla S$ 和 $\Phi(\propto\delta)$ 也是小量. 原来的三个方程改为： $$ \begin{aligned} &\frac{\partial\delta}{\partial t}+\frac{1}{a}\nabla\cdot\vec{v}=0\\\\ &\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\frac{\dot{a}}{a}\vec{v}+\cancel{\frac{1}{a}(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}}=-\frac{\nabla\Phi}{a}-\frac{c\_S^2\nabla\delta}{a(1+\cancel{\delta})}-\frac{2\bar{T}}{3a}(1+\cancel{\delta})\nabla S\\\\ &\nabla^2\Phi=4\pi G\bar\rho a^2\delta \end{aligned} $$ 联立，有： $$ \frac{\partial^2\delta}{\partial t^2}+\underset{\text{Hubble drag}}{\underline{2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\partial\delta}{\partial t}}}=\underset{\text{gravity}}{\underline{4\pi G\bar\rho\delta}}+\underset{\text{pressure}}{\underline{\frac{c\_S^2}{a^2}\nabla^2\delta}}+\underset{\text{entropy}}{\underline{\frac{2\bar{T}}{3a^2}\nabla^2S}} $$ 将宇宙中的密度分为物质密度和辐射密度，那么 $\delta\cdot\bar\rho=\bar\rho\_r\delta\_r+\bar\rho\_m\delta\_m$，在这样的观点下，宇宙的涨落分为两种模式： * iso-curvature perturbation (总体涨落为零，两种涨落抵消)，那么有关系： $$ \frac{\delta\_r}{\delta\_m}=-\frac{\bar\rho\_m}{\bar\rho\_r}=-\frac{a}{a\_{\text{eq}}} $$ 其中 $a\_{\text{eq}}$ 是辐射和物质相等的时刻的尺度因子. 特别地，在辐射为主导的时代，$\bar\rho\_r\gg\bar\rho\_m$，$\delta\_r\approx0$. * entropy perturbation：考虑熵的涨落， $$ \begin{aligned} \delta\_S&=\frac{S(\vec{x},t)-\bar{S}(t)}{\bar{S}(t)}\\ S&=sV\propto\frac{S}{\rho\_m}\propto\frac{T^3}{\rho\_m}\propto\frac{\rho\_r^{3/4}}{\rho\_m}\\\\ \delta\_S&=\frac{\delta S}{S}=\frac{1}{S}\left\[\frac{\partial S}{\partial\rho\_r}\delta\rho\_r+\frac{\partial S}{\partial \rho\_m}\delta\rho\_m\right]=\frac{3}{4}\delta\_r-\delta\_m \end{aligned} $$ 这种模式又称 adiabatic perturbation / iso-entropic perturbation. 之后我们一般讨论后一种模式，因为实验上这种模式符合得更好. 为了解上面的方程，作 Fourier 变换 ($\nabla\to\text{i}\vec{k}$，$\nabla^2\to-k^2$，$\delta(\vec{x})\to\delta\_{\vec{k}}$)： $$ \frac{\text{d}^2\delta\_{\vec{k}}}{\text{d}t^2}+2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\text{d}\delta\_{\vec{k}}}{\text{d}t}=\left\[4\pi G\bar\rho-\frac{c\_S^2k^2}{a^2}\right]\delta\_{\vec{k}}-\frac{2\bar{T}}{3a^2}k^2S\_{\vec{k}} $$ ::: tip 注意到：这里把偏微分写成了全微分，这并不是真的 $\delta\_{\vec{k}}$ 和 $\vec{k}$ 没关系了，而是代表每一个固定的 $\vec{k}$ 不依赖于其他的模，单独演化，所以可以认为在每一个单独的 $\vec{k}$，$\delta\_{\vec{k}}$ 都是只与 $t$ 有关的. ::: (1) adiabatic perturbation，且绝热演化 (没有熵的输入)：$S\_{\vec{k}}=0$. 且我们暂时忽略宇宙膨胀带来的影响，所以 Hubble drag 一项也是零. 这时整个方程变成了我们特别了解的一个微分方程： $$ \frac{\text{d}^2\delta\_{\vec{k}}}{\text{d}t^2}+\omega^2\delta\_{\vec{k}}=0,,\quad\omega^2:=\frac{k^2c\_S^2}{a^2}-4\pi G\bar\rho $$ 1. $\omega^2>0$，$\delta\_{\vec{k}}\propto e^{\pm\text{i}\omega t}$ 振荡解，涨落大小没有增长； 2. $\omega^2<0$，$\delta\_{\vec{k}}\propto e^{\mp\alpha t}$ ($\omega=\text{i}\alpha$)，取 "$-$" 时衰减解忽略，取 "$+$" 时为增长解 (growing mode). 引入 Jeans mode (==注意是共动坐标下的波数==)： $$ k\_J:=\frac{2a}{c\_S}\sqrt{\pi G\bar\rho},,\quad\omega^2=\frac{c\_S^2}{a^2}(k^2-k\_J^2) $$ 所以振荡解就要求 $k>k\_J$，$\lambda<\lambda\_J$ (共动坐标下的 Jeans 长度，$\lambda\_J=2\pi/k\_J$). 也就是当涨落尺度小于 Jeans 长度，涨落就不能增长；反之，若涨落尺度大于 Jeans 长度，涨落就能够按照指数模式增长. 上面是在共动坐标下面讨论，我们当然还可以定义一个物理坐标下的 Jeans 长度，定义为： $$ \lambda\_J^{\text{proper}}=a(t)\lambda\_J^{\text{com}}=c\_S\sqrt{\frac{\pi}{G\bar\rho}} $$ 定义这一个物理坐标的 Jeans 长度，是因为我们有时想要用质量来描述一个空间尺度，这时候要引入 Jeans 质量，而这个 Jeans 质量对应的应该是物理的 Jeans 长度，也就是 $$ M\_J=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\lambda\_J^{\text{proper}}}{2}\right)^3\cdot\bar\rho=\frac{\pi}{6}(\lambda\_J^{\text{proper}})^3 $$ 上述 Jeans 波数、Jeans 波长和 Jeans 质量等等一系列判据统称为 Jeans 判据，在很多宇宙学的分支都能见到，因为其本质就是波动方程带来的效果：大尺度的涨落可以增长，小尺度的涨落不能增长. (2) Hubble drag：考虑宇宙膨胀的影响 (但是仍然是 adiabatic perturbation，$S\_{\vec{k}}=0$)，并假设 $k\ll k\_J$. 方程变为： $$ \frac{\text{d}^2\delta\_{\vec{k}}}{\text{d}t^2}+2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\text{d}\delta\_{\vec{k}}}{\text{d}t}=4\pi G\bar\rho\delta\_{\vec{k}} $$ 这时我们可以解出这样的解： $$ \delta\_+\propto H(t)\int\_0^t\frac{\text{d}t'}{a^2(t')H^2(t')} $$ 若假设这里是物质为主的宇宙，则还可以进一步得到 $$ \propto H(z)\int\_z^\infty\frac{1+z'}{E^3(z')}\text{d}z'\propto t^{2/3} $$ 可以发现，增长的规律从指数变为幂律，Hubble 常数 (宇宙的膨胀) “拖慢”了增长的速度，所以称为 Hubble drag. (3) “视界”因素：计入 Poisson 方程的影响， $$ -k^2\Phi\_{\vec{k}}=4\pi Ga^2\bar\rho\delta\_{\vec{k}} $$ 有些涨落的尺度非常巨大，超过了视界的范围 ($\lambda>\lambda\_H$)，称为 super-horizon perturbation，在视界以外，势能的涨落传播不过来，所以 $\Phi\_{\vec{k}}=\text{const.}$，因此这里有 $$ \delta\_{\vec{k}}\propto(\bar\rho a^2)^{-1}\propto\left{\begin{array}{ll} a&\text{matter}\\ a^2&\text{radiation} \end{array}\right. $$ 涨落可以增长；相对地，在视界内部的涨落 (sub-horizon perturbation，$\lambda<\lambda\_H$) 就难以增长. *** 下面我们汇总不同尺度的涨落： (1) 在 recombination 之前，首先考虑 $t\_{\text{eq}}$ 前的时刻，baryon 和 radiation 还没有解耦，这时宇宙以辐射为主，$\bar\rho\_b(t)$ (baryon 密度) $\ll\bar\rho\_r(t)$， $$ c\_S=\sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial\rho}\right)*S}=\frac{c}{\sqrt3}\left\[1+\frac{3\bar\rho\_b(t)}{4\bar\rho\_r(t)}\right]^{-1/2}\approx\frac{c}{\sqrt3} $$ (2) 在 $t*{\text{eq}}\t\_{\text{rec}}$，声速公式发生变化，再复合结束之后，仍然是物质为主， $$ c\_S=\sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial\rho}\right)\_S}=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=\left(\frac{5k\_BT}{3\mu m\_p}\right)^{1/2}\propto T^{1/2}\propto a^{-1} $$ 这是因为光子和重子脱耦之后，重子场的压强主要来源于重子场自身，而不是之前的光子场，声速突变. 在这个时期，Jeans 质量约是 $1.5\times10^{5}(\Omega\_bh^2)M\_\circ$，这是球状星系团的特征质量. *** 实际上，除了上述因素，还有一种 silk damping 效应会影响涨落的效果. 这来源于 $t\