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## Boltzmann 方程 & Saha 方程

物质 - 辐射相等的时刻 (matter - radiation equality)：
$$
\rho\_{M,0}=\Omega\_M\rho\_c,,\quad\rho\_{R,0}=\Omega\_R\rho\_c
$$
而我们知道物质和辐射的密度与尺度因子 $a$ 的关系：
$$
\rho\_M=\rho\_{M,0}\left(\frac{a}{a\_0}\right)^{-3}=\rho\_{M,0}\left(\frac{T}{T\_{\gamma,0}}\right)^{3},,\quad\rho\_R=\rho\_{R,0}\left(\frac{a}{a\_0}\right)^{-4}=\rho\_{R,0}\left(\frac{T}{T\_{\gamma,0}}\right)^{4}
$$
将这两个量作比，得到
$$
\frac{\rho\_M}{\rho\_R}=\frac{\Omega\_M}{\Omega\_R}\left(\frac{T}{T\_{\gamma,0}}\right)^{-1}
$$
当达到相等时刻时，$T=T\_{EQ}$，解得：
$$
T\_{EQ}=T\_{\gamma,0}\left(\frac{\Omega\_M}{\Omega\_R}\right)\approx10^{4}\text{ K}\sim1\text{ eV}
$$
这里采用的是 $\Omega\_M=0.7$，$\Omega\_R=0.3$ 的数据. 上节课说到退耦的温度大约是 $10\text{ eV}$ 量级，和这个结果是自洽的. 还可以计算这时的红移：
$$
1+z\_{EQ}=\frac{a\_{EQ}}{a\_0}=\left(\frac{T\_{EQ}}{T\_{\gamma,0}}\right)^{-1}=\frac{\Omega\_R}{\Omega\_M}\approx3500
$$
在 CMB 时，红移大约是 $1100$，温度约为 $0.3\text{ eV}$ 量级，因此我们可以说物质和辐射相等的阶段在 CMB 发生之前.

下面我们用 Boltzmann 方程 (non - equilibrium rate equation) 来仔细计算这个过程.

对于一个反应 $1+2\longleftrightarrow3+4$，我们可以写出：
$$
a^{-3}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(n\_1a^3)=n\_1^{(0)}n\_2^{(0)}\braket{\sigma v}\left{\frac{n\_3n\_4}{n\_3^{(0)}n\_4^{(0)}}-\frac{n\_1n\_2}{n\_1^{(0)}n\_2^{(0)}}\right}
$$
解释：

> 本来数密度就会随着尺度因子的变化而变化，所以我们将 $n$ 和 $a^3$ (体积限度) 乘在一起，保证所谓的“共动体积”中，只要没有其他变化，粒子数是不变的. 当然我们在 $\text{LHS}$ 还除了 $a^3$，这是出于量纲平衡的考虑.
>
> for each species，there is
> $$
> n\_i=g\_i\int\frac{\text{d}^3p}{(2\pi)^3}e^{-(E\_i-\mu\_i)/k\_BT}
> $$
> (相空间中的状态数积分，其中 $g\_i$ 为简并度，$\mu\_i$ 是化学势) 对于 $n^{(0)}\_i$，
> $$
> \begin{aligned}
> n\_i^{(0)}&:=g\_i\int\frac{\text{d}^3p}{(2\pi)^3}e^{-E\_i/k\_BT}=n\_ie^{-\mu\_i/k\_BT}\\\\
> &=\left{\begin{array}{ll}
> g\_i\left(\frac{m\_iT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-m\_ic^2/k\_BT}\&m\_ic^2\gg k\_BT\\\\
> \frac{g\_iT^3}{\pi^2}\&m\_ic^2\ll k\_BT
> \end{array}\right.
> \end{aligned}
> $$
> $\braket{\sigma v}$ 是 "thermally averaged cross - section"：
> $$
> \begin{aligned}
> &=\frac{1}{n\_1^{(0)}n\_2^{(0)}}\int\frac{\text{d}^3p\_1}{(2\pi)^3\cdot2E\_1}\cdots\int\frac{\text{d}^3p\_4}{(2\pi)^3\cdot2E\_4}e^{-(E\_1+E\_2)/k\_BT}(2\pi)^4\\\\
> &\quad\quad\cdot\delta^{(3)}(\cdots)
> \end{aligned}
> $$
> (我 \* 我没抄完)
>
> 方程的含义大致是：反应的速率正比于反应的碰撞截面、反应左右两边的粒子数密度差异.

如果我们想要反应的 rate $n\_2\braket{\sigma v}\gg1/t$ (expansion rate，宇宙膨胀速率)，这时我们还想要上述方程成立的方案是要求 ${\cdots}\to0$，这样 $\text{LHS}$ 就能远小于 $n\_2\braket{\sigma v}$. 因此
$$
\frac{n\_3n\_4}{n\_3^{(0)}n\_4^{(0)}}=\frac{n\_1n\_2}{n\_1^{(0)}n\_2^{0}}\text{ and }\frac{\text{d}}{\text{d}t}(a^3n\_1)=0
$$
也就是：反应的时间尺度远小于宇宙空间变化的时间尺度，宇宙膨胀的时间下看起来反应时刻处于平衡态，而 $\text{d}/\text{d}t$ 的值为零恰好对应了这一点 —— 宇宙中某处共动体积内粒子数不变，因为这个时间尺度下反应一直是平衡的.

在 CMB 研究领域，我们将这个方程 (${\cdots}=0$) 称作 Saha 方程，其实它就是所谓的“化学势”相等 (当然在 BBN 的领域它还有一些别的名字之类的，但是核心就是化学势平衡).

当然我们要问：如果 $\text{d}/\text{d}t$ 一直是零，那么我们的反应怎么进行呢？实际上我们知道，宇宙的温度一直在缓慢变化，时间尺度和宇宙膨胀的尺度相似，因此整个反应长期处于“准静态”过程中，温度变化一点就进入新的平衡，我们的 Saha 方程也因此是平衡态方程.

接下来我们要应用这些方程来处理遇到的问题：

### 应用 - CMB

对于 CMB，反应是 $e+p\overset{\text{Recombination}}{\underset{\text{ionization}}{\longleftrightarrow}}\text{H}+\gamma$ ($E>13.6\text{ eV}$)，Saha 方程是：
$$
\frac{n\_en\_p}{n\_e^{(0)}n\_p^{(0)}}=\frac{n\_H}{n\_H^{(0)}}
$$
(光子化学势为零，不计算). 如果忽略 $\text{He}$，则 $n\_e=n\_p$，电离率为
$$
\chi\_e=\frac{n\_p}{n\_p+n\_H}=\frac{n\_e}{n\_e+n\_H},,\quad n\_p+N\_H=n\_b
$$
($n\_b$ 为重子数密度)，解得 (非相对论情形下)：
$$
\frac{n\_en\_p}{n\_H}=\frac{\chi\_e^2n\_b}{1-\chi\_e},,\quad\frac{n\_e^{(0)}n\_p^{(0)}}{n\_H^{(0)}}=\frac{g\_eg\_p}{g\_H}\left(\frac{m\_em\_p}{m\_H}\right)^{3/2}\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-B\_1/k\_BT}
$$
我们知道，$g\_e=2$，$g\_p=2$ (俩 fermion)，它们合起来就是 $g\_H=4$，同时只要不在指数上，我们还可以用近似 $m\_H\approx m\_p$，最后得到
$$
\frac{n\_e^{(0)}n\_p^{(0)}}{n\_H^{(0)}}\approx\left(\frac{m\_eT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-B\_1/k\_BT}
$$
Boltzmann 方程化为
$$
\begin{aligned}
a^{-3}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(n\_ea^3)&=n\_e^{(0)}n\_p^{(0)}\braket{\sigma v}\left{\frac{n\_H}{n\_H^{(0)}}-\frac{n\_en\_p}{n\_e^{(0)}n\_p^{(0)}}\right}\\\\
&=\braket{\sigma v}\left(\frac{n\_e^{(0)}n\_p^{(0)}}{n\_H^{(0)}}\right)(1-\chi\_e)n\_b-\braket{\sigma v}\chi\_e^2n\_b^2\\\\
&=n\_b\braket{\sigma v}\left{(1-\chi\_e)\left(\frac{m\_eT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-B\_1/k\_BT}-\chi\_e^2n\_b\right}
\end{aligned}
$$
而 $\text{LHS}$ 还能够写成 $n\_b\frac{\text{d}\chi\_e}{\text{d}t}$，在这样的情况下 Boltzmann 方程可以最终写成：
$$
\frac{\text{d}\chi\_e}{\text{d}t}=(1-\chi\_e)\beta-\chi\_e^2n\_b\alpha^{(2)}
$$
其中：
$$
\beta:=\braket{\sigma v}\left(\frac{m\_eT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-B\_1/k\_BT}
$$
复合率 $\alpha^{(2)}=\braket{\sigma v}$. 我们知道，反应要有效，必须是一个光子先从 $n=+\infty$ 掉到 $n=2$ 态，在落到 $n=1$ 态，因为如果直接到 $1$ 能级，发射的光子又可以将电子电离出来，但是前面一种模式就能保证反应不会刚发生又回到初态，这种反应模式叫做 "case B recombination".

Saha 方程对应 $\text{RHS}=0$，也就是：
$$
\frac{\chi\_e^2}{1-\chi\_e}=\frac{\beta}{n\_b\alpha^{(2)}}=\frac{1}{n\_b}\left(\frac{m\_eT}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-B\_1/k\_BT}
$$
解的形式考察：

> 先不考虑 $\text{RHS}$ 前面的一坨因子，单纯考虑 $\exp$ 函数的效果，那么 $T\sim B\_1$ 量级；
>
> 但是如果考虑前面的 pre - factor ($\propto T^{3/2}/n\_b$)，就会“压低”这个 $T$ 的值，在 decoupling 之后整个 $T$ 值快速下降，转变点大约对应 $T\sim0.3\text{ eV}$.
>
> Saha 方程预言的是无限制地压低 (无限消耗氢元素). 如果严格解 Boltzmann 方程，转变点不会有太多变化 (这可能是个复杂的巧合)，但是最终 $T$ 值不会一直被压低，而是会存在一个残存的反应，因为 decoupling 之后反应不再平衡 (不再符合 Saha 方程)，且永远存在一些自由的电子.
>
> 两个方程给出的结果如下图：

问题：温度足够高时，我们觉得温度高时 $\chi\_e$ 应该是接近于 $1$，但是 Saha 方程的 $\text{RHS}$ 有 $n\_b\propto T^3$，因此 $\text{RHS}$ 在 $T\to\infty$ 时趋于 $0$，两边并不相等，这是为什么呢？

> 因为在 $T$ 非常高的情况下，应该换用相对论性的描述！

## CMB 的偶极各向异性

(CMB dipole anisotropy)

Planck 公式能够写成光子数密度的形式：(在 $\nu+\text{d}\nu$ 之间的光子数密度)
$$
n(\nu)\text{d}\nu=\frac{8\pi\nu^2/c^3}{e^{h\nu/k\_BT}-1}\text{d}\nu
$$
我们想要改写成相空间的数密度的公式 (因为相空间体积元是一个 Lorentz 不变量、相应地，相空间数密度也是不变量)，因此先写出已知的关系：
$$
N=N(\vec{x},\vec{p})\text{d}^3\vec{x}\text{d}^3\vec{p},,\quad|\vec{p}|=E/c=h\_{p'}\nu/c
$$
因此 $\text{d}^3p=4\pi|\vec{p}|^2\text{d}p=4\pi h^3\_{p'}\nu^2/c^3\text{d}\nu$，$N\_\gamma(\vec{x},\vec{p})=N\_\gamma(p)$ (与位置和 $\vec{p}$ 方向无关). 所以相空间内的光子数表达式为
$$
N\_\gamma(p)=\frac{1}{h\_{p'}^3}\frac{1}{e^{pc/k\_BT}-1}
$$
对于相对于 CMB 有运动的我们来说，要做一个 Lorentz boost，$|\vec{p}|=(1+\beta\cos\theta)|\vec{p}'|$ (这不就是 4 - momentum 变换吗……)
$$
\begin{pmatrix}
p\_1\p\_2\p\_3\\|\vec{p}|
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&&&\\
&1&&\\
&&\gamma&\beta\gamma\\
&&\beta\gamma&\gamma
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p\_1'\p\_2'\p\_3'\\|\vec{p}'|
\end{pmatrix}
$$
这里得到地球系上面的光子数密度角分布：
$$
N'*\gamma(p')=N*\gamma(p)=\frac{1}{h\_{p'}^3}\frac{1}{\exp\left\[\frac{\gamma(1+\beta\cos\theta)p'c}{k\_BT}\right]-1}=\frac{1}{h\_{p'}^3}\frac{1}{\exp\left\[\frac{p'c}{k\_BT'(\theta)}\right]-1}
$$
于是温度角分布：
$$
T'(\theta)=\frac{T}{1+\beta\cos\theta}\approx T(1-\beta\cos\theta)
$$
恰好对应 Lagendre 展开中的 $l=1$ 多项式，也就是偶极项.

用球谐函数描述温度角分布：
$$
T(\hat{n})=\sum\_{l=0}^\infty\sum\_{m=-l}^{+l} Y\_{lm}(\hat{n})a\_{lm}
$$
球谐函数是什么？

> 在球面上建立无穷多的正交基矢，依据这些基矢将函数展开. 相当于将涨落分解为不同的阶数进行分析.
>
> 当然，随机性会体现在系数 $a\_{lm}$ 中，为了滤去这种随机性，我们计算所谓功率谱 $c\_l$：
> $$
> \braket{a\_{lm}a^\**{lm}}=\frac{2}{2l+1}\delta*{ll'}c\_l
> $$
> 对于更小的 $l$，对应更大尺度的关联性质，而这些量都可以通过观测数据来很严格地计算出来. 因此原则上我们能通过观测量 fit 出功率谱的形式，以此来了解 CMB 中所蕴含的宇宙中的物质信息.
>
> ::: tip
>
> 以教室为例，最小尺度 (大 $l$ 处) 是间隔两个人的座位分布，这里会出现一个峰，因为大量的座位都是两个人挨着的；更小的 $l$ 处显然峰比较低，因为隔更多的人似乎找到下一个人的概率比较低，所以这种关联相对较弱.
>
> :::