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## Pre-1：用白矮星来探测系外行星的成分

为什么用白矮星？

> 因为白矮星的光谱非常「干净」，它的光谱中并没有太多金属成分对我们的测量造成污染；同时白矮星非常「敏感」，有系外行星的光谱会很容易地被探测出来.

我们所使用的方式就是光谱. 测量得到的结果是，有被污染的白矮星，其被污染的这些谱线和地球、哈雷彗星的光谱比较类似 —— 或许可以推测白矮星在演化过程中「吃掉」了系外行星.

::: tip

程同学利用手上的数据做过对比，证明了恒星光谱的主要成分和系外行星光谱是有区别的. 因此可以建立起白矮星被污染的光谱来自于系外行星的假设.

另一个问题是，多余的 O 元素，一般认为来自于彗星中的水 —— 但是水是怎么 survive 之前的 AGB 或者 RGB 阶段的呢？

:::

关于这篇参考文献到底有什么贡献，我们认为它对于 star-planet 的关系比较重要.

::: warning

*部分 Q & A*

Q：如何代表普遍的规律？

> 这永远是一个普遍的问题.

Q：重元素会有时间上的 decline，这是为什么？

> 元素的重量对于白矮星书写时间是有影响的.

Q：为什么推测 O 元素来源于彗星？

> 并不严格是指彗星. 外太阳系有一类天体以冰为主体，我们所说的彗星指的是这一整类天体.

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## 双星系统演化

几乎所有的恒星都有伴星，双星系统的比例非常高，接近 80% —— 甚至可能更高.

双星系统的力学性质我们一般在质心系中研究，有效势能为
$$
\phi(\vec{r}) = -\frac{GM\_1}{|\vec{r}-\vec{r}*1|}-\frac{GM\_2}{|\vec{r}-\vec{r}*2|}-\frac{1}{2}(\vec{\omega}\times\vec{r})^2
$$
最后一项为离心势. 其极值为五个 Lagrange 点，其中 $L*{1,2,3}$ 三个点都是马鞍形的势能，而 $L*{4,5}$ 都在势能顶点，但是因为 Coriolis 力而能够保持稳定 (前提是 $M\_1$ 足够大).

Roche 瓣：定义为双星转动坐标系中的临界等势面. 这个「临界」指 Roche 极限临界，Roche 半径
$$
R\_1 = \frac{0.49q^{-2/3}}{0.6q^{-2/3}+\ln(1+q^{-1/3})},\quad R\_2 = \frac{0.49q^{2/3}}{0.6q^{2/3}+\ln(1+q^{1/3})},\quad q=\frac{M\_2}{M\_1}
$$
在质量比 $q\ll 1$ 的情况下，$R\_2\sim a(q/3)^{1/3}$，这被称为 Hill 半径. 我们实际上是用近似圆来模拟这个物质传递的范围，因此 Roche 极限是一种近似.

如果星体充满了自己那一部分 Roche 瓣，我们认为双星之间可以存在物质的传递 (充满 Roche 瓣的那一颗星可以传输物质到另一颗).

双星质量转移：角动量和质量守恒，因此
$$
J = M\_1a\_1^2\omega+M\_2a\_2^2\omega = M\_1M\_2\sqrt{\frac{Ga}{M}}
$$
假设失去质量的是 $M\_1$，那么
$$
\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{2\dot{M}\_1}{M\_1}\left(1-\frac{M\_1}{M\_2}\right)
$$
如果是小质量恒星向大质量恒星传输，那么半径就会扩张，过一段时间就会回到没有物质传输的稳定状态；但是反之就会出现失控质量转移，最终形成公共的包层.

激变变星：其周期比较快，且随着周期演化有各种物理性质变化.

* 周期在 3h 以上时，输质星的磁阻尼和双星的潮汐作用导致轨道角动量严重损失，周期迅速减少.
* 在 3h 附近，输质星完全对流化，磁场减弱 (甚至消失)，这时两星质量翻转，双星脱离解除.
* 2 ~ 3h，引力波辐射主导角动量的损失，但是两星还是互不接触.
* 1 ~ 2h，引力波辐射增强，双星间距收缩速度再次超过输质星的半径缩小速度，双星重新开始接触.
* 周期降到 1.5h 左右时输质星耗尽.

在这个过程中很有可能发生爆炸，产生新星/Ia 型超新星.

## Pre-2：引力波探测

LIGO 在 O4 中取得了很强的性能，这来源于几个升级：一个是加大了激光的功率，另一个是将噪声降低到了标准量子极限以下.

如何降低量子噪声到标准极限以下？在平面上我们可以把噪声表示为一个圆 (其波函数振幅在一个圆内部)，通过变换的方式将其变为一个椭圆，然后将测量信号的振幅选择为那个长轴方向.

> 我想这种表述听起来非常抽象，具体来说这个过程是通过泵浦光加强振幅实现的.

所谓标准量子极限大概是量子噪声函数 $(\kappa+1/\kappa)$ 取极值的时候那个极限值，这里的 $\kappa$ 是和 $\omega$ 相关的一个参数. 但是经过上述的变换 (变成椭圆) 操作之后，新的函数变为
$$
S\_h = \frac{h\_{\text{SQL}}^2}{2}\left(\frac{1}{\kappa}+\kappa\right)(\cosh 2R-\cos\[2(\lambda+\Phi)]\sinh 2R)
$$
后面的因子在 $\lambda=-\Phi$ 时可以获得一个 frequency-dependent 的压低，也就突破了经典量子极限.