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第一颗人类认证的白矮星是天狼星的伴星：它有 $25000$ K，相对地，天狼星本身只有 $9900$ K. 因此我们能够推测这个伴星一定具有非常小的发光面积.

为了建立白矮星的方程，我们仍然从上节课的思路出发，当然白矮星满足压强平衡，但是状态方程呢？如果依旧取辐射压和气体热压力，那么
$$
P\_{\text{gas}}=\frac{\rho k\_BT}{\mu m\_u},\quad P\_{\text{rad}}=\frac{1}{3}a\_{\text{rad}}T^4
$$
做简单的数值估算，一个典型白矮星的参数为 $0.6M\_{\odot}$，$0.01R\_{\odot}$，$T\sim 10^7\text{ K}$. 按照上述公式来算，压力是不足以平衡引力的，我们需要其他的效应来平衡引力. 于是引入电子简并压，得到
$$
\frac{\partial\ln P}{\partial\ln\rho}=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{4}{3}}\quad(\text{non-relativistic}),\\\\
\displaystyle{\frac{5}{3}}\quad(\text{relativistic})
\end{cases}
$$
结合上节课我们讲的 Lane-Emden 方程，可以解出 Chandrasekhar 极限. 但是更细致的计算还是会给出一些差异，也就是电子简并压的修正项，在高密度情况下：

* Coulomb 效应：大约 $\propto n^{-1/3}$，电子之间相互排斥的效果降低了简并压；

* 逆中子化过程：发生逆 $\beta$ 衰变，
  $$
  e^-+p\to n+\nu\_e
  $$
  看起来这个反应能够平衡，但是因为 $\nu\_e$ 非常容易逃逸，因此反应大量向右进行，中子开始从核中「滴出」，再一次造成了一个降低.

***

在结构方面，白矮星具有一个占大多数部分的简并核，和一小部分对流区、极其稀薄的大气. 白矮星基本不产生热，其高温几乎完全来自于引力的坍缩. 经历下述演化过程：

* 前 $20$ Myr 左右，经历中微子冷却. 这段时间的主要反应是所谓 Urca 过程，
  $$
  e^-+p\to n+\nu\_e,\quad n\to p+e^-+\bar{\nu}\_e
  $$

* 之后经历热辐射冷却. 这个时标可以达到 $10^9$ 年. 我们已知最低温度的白矮星的表面有效温度约为 $3800$ K.

最后阶段，白矮星经历一个类似于相变的「结晶」过程：当原子核的热动能 $\sim$ 其 Coulomb 势能时，白矮星结晶开始. 结晶温度：
$$
\frac{Ze^2/r}{k\_BT\_g}\sim1 \Longrightarrow T\_g\sim\frac{Ze^2}{k\_B}n^{1/3}\sim 3\times 10^4\text{ K}
$$

> 查了一下，这个结晶过程实际上很复杂. 首先，这个过程会大幅减慢白矮星的冷却速度，因为我们所熟知的「相变潜热」，以及引力势能的释放.
>
> 同时在白矮星中传播的一些声波信号，在结晶化的部分中无法传播，因此结晶锋面的推进会产生振荡频率的变化，有观测结果上的差异.

恒星质量 - 白矮星质量关系大约是 $M\_f\sim 0.1M\_i+0.5$，这是因为更大质量的恒星抛射掉的物质更多，导致这个关系基本是线性的.

光谱特征：吸收线少，有 $30%$ 的白矮星存在金属污染.