$$\mathrm{d}x^\alpha\longrightarrow\Lambda^\alpha{}_\beta\mathrm{d}x'^\beta$$

原先的度规变成 $\mathrm{d}s^2=\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha{}_\gamma\Lambda^\beta{}_\delta\mathrm{d}x^\gamma\mathrm{d}x^\delta$. Lorentz 变换的要求是度规不变，也就是

$$\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha{}_\gamma\Lambda^\beta{}_\delta = \eta_{\gamma\delta}$$

这要求 $(\det\Lambda)^2=1$，而 $|\Lambda^0{}_0|\geqslant 1$ 是唯一被实验验证的那种变换.

之后我们想要构造 Lorentz 变换的不变量，它称为 tensor. 并且 tensor 乘 tensor，其结果还是 tensor. 当然，有些东西是难以实现的，比如光子场就并不是一个 vector，为了构造出一个 tensor，那么要把光子场 $A^\mu$ 耦合到一个守恒流 $J_\mu$ 上，得到 scalar $A^\mu J_\mu$.

人们总是想把物理量写成 vector $\cdot$ vector 的形式，如果其中一个因子做不到，那么对另一个因子就要有相应的要求.

构造出来的 Newton's Law II：

$$m\frac{\mathrm{d}U^\mu}{\mathrm{d}\tau}=eF^{\mu\nu}U_\nu$$

这基本上就是狭义相对论和场无关的那些部分. 现在的问题是绝对惯性系和引力无法包含进当前理论.

关于局域惯性系到底有多「局域」，我们用 Taylor 展开来作为判据，要求 $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=0$ 时算作局域惯性系.

测地线方程：

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma}\frac{\mathrm{d}x^\rho}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}\tau}=0$$

分开来看时间和空间，并认为 $\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau\sim1$. 那么

$$\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}t^2}+\Gamma^i{}_{00}=0$$

和 Newton 引力定律对比，得到 $g_{00}=-(1+2\phi)$.

$$S = \int\mathrm{d}^4x\cdot\sqrt{g}\cdot\frac{1}{2}(-g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-m^2\phi^2)$$

度规用的是 co-moving 的版本，$\mathrm{d}s^2=a^2(\tau)\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu$. 因此上式化为

$$S = \frac{1}{2}\int\mathrm{d}^3x\mathrm{d}\tau\cdot a^2(\phi'^2-\nabla\phi\cdot\nabla\phi-m^2a^2\phi^2)$$

令 $\chi=a\phi$，得到

$$S = \frac{1}{2}\int\mathrm{d}^3x\mathrm{d}\tau\left[\chi'^2-(\nabla\chi)^2-\left(m^2a^2-\frac{a''}{a}\right)\chi^2\right]$$

这里我们将 $\delta\phi\to\chi$，这个 $\chi$ 是一个 Heisenberg 表象下的算符，它满足

$$\hat{\chi}_{\vec{k}}''+\omega_{\vec{k}}^2\hat{\chi}_{\vec{k}}=0$$

但是这里的 $\omega$ 是一个随时间变化的量，为了在传统的量子力学下研究它，我们思考它的缓慢变化条件，

$$\frac{\mathrm{d}\omega_k^2}{\omega_k^2\mathrm{d}\tau}\ll\omega_k$$

这是 adiabatic 条件. 这对应 $k^2\tau^2\gg 1$. 当 $\tau\to-\infty$ 时，$\omega_k^2\to k^2$，由算符的方程定义出的那个 $\chi_k$ 是 $k$ 对应的湮灭算符，我们定义的真空态就是被所有 $\chi_k$ 所湮灭的那个态 $|\mathcal{O}\rangle_{\text{BD}}$.

比较 $k_{\text{phys}} = \displaystyle{\frac{k}{a}}=kH\tau$ (也就是物理动量) 和 $H$ 的大小，前者标定了真空态一个 mode 的空间周期，后者标定了 horizon 的尺度. 在 inflation 阶段，$H$ 几乎是不变的，而 $k_{\text{phys}}$ 是按照 $-1$ 次幂衰减，是一个简单的膨胀导致的红移. 那么到 $H$ 和 $k_{\text{phys}}$ 相等时，达到 horizon，这时候的 fluctuation 被「冻结」.

inflation 结束之后 $H$ 以 $-2$ 次幂衰减，它们再一次相遇时就产生 re-enter，冻结的 fluctuation 再次开始演化.

我们实际上要计算的只能是冻结的那一个部分，因为观测条件仅仅允许我们确认这些部分.

$$\chi_{\vec{k}}(\tau)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[a_{\vec{k}}v_{\vec{k}}^\star(\tau)+a_{\vec{k}}^\dagger v_{\vec{k}}(\tau)\right]$$

边界条件：

$$v_k\xrightarrow{\tau\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}e^{\mathrm{i}k\tau}$$

推出 $v_k$ 应该是一个 Hankel function，

$$v_k=\mathrm{i}\sqrt{\frac{\pi}{2k}}H_n^{(2)}(|k\tau|),\quad n=\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{m^2}{H^2}}$$

在 $m\ll H$ 时，$n=3/2$，这时候的 Hankel function turns out to be 一个简单函数，

$$v_k\to\frac{1}{\sqrt{k}}e^{\mathrm{i}k\tau}\left(1-\frac{\mathrm{i}}{k\tau}\right)$$

算两点关联，

$$\begin{aligned} _{\text{BD}}\langle\mathcal{O}|\hat\chi(\vec{x},\tau)\hat\chi(\vec{y},\tau)|\mathcal{O}\rangle_{\text{BD}} &= \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\cdot\frac{1}{2}|v_k|^2e^{\mathrm{i}k(\vec{x}-\vec{y})}\\\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty k^2\mathrm{d}k|v_k(\tau)|^2\frac{\sin kL}{kL} \end{aligned}$$

观测的时候还要做一次 Fourier 变换，因此大尺度巡天测量星系数密度 / CMB 温度涨落测到的实际上是

$$k^3\mathrm{d}\log k\cdot|v_k(\tau)|^2$$

这么一个东西. Fluctuation 是

$$\delta\phi_k(\tau\to0) = k^{3/2}|v_k(\tau)|(-H\tau) = H$$

其中用到之前那个 $v_k$，

$$\lim_{\tau\to0}|v_k|=\frac{1}{\sqrt{k}}\cdot 1\cdot\frac{1}{k\tau} = k^{-3/2}\tau^{-1}$$

提到 $\zeta$，定义是

$$-\zeta = \Psi+\frac{H}{\dot{\bar\phi}}\delta\phi\Longrightarrow\zeta_k\sim\frac{H^2}{\dot{\bar\phi}}$$

这个说法是，根据 slow-roll 理论，宇宙中不同地方「滚」下来的时间不同，因此有些部分先 re-heating，这部分地方先进入后期演化，因此红移更多、更冷，这造成温度涨落. 这部分涨落携带了上面 $\zeta$ 这个因子.

而如果用引力波来进行观测，我们直接观测到的是 $H$ 的那个 fluctuation，因此我们一共可以观测到两种不同的 fluctuation.

$$\phi(t,\vec{x}) = \bar\phi(t)+\delta\phi(t,\vec{x})$$

度规也是一样，可以分成

$$g_{\mu\nu}(t,\vec{x}) = \bar g_{\mu\nu}(t)+\delta g_{\mu\nu}(t,\vec{x})$$

在宇宙尺度上，时间并不是一个很好的对称性，所以我们从空间旋转的角度思考，而不是应用 Lorentz 表示. 这时候的线元是

$$\begin{aligned} \mathrm{d}s^2&=g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu\\\\ &=-(1+2\Phi)\mathrm{d}t^2+2aB_i\mathrm{d}x^i\mathrm{d}t+a^2[(1-2\psi)\delta_{ij}+E_{ij}]\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j \end{aligned}$$

任何一个 $B_i$ 都可以分成一个散度和剩下的无散度部分，$B_i\equiv\partial_iB-S_i$，$\partial^iS_i=0$. 同理，

$$E_{ij} = 2\partial_i\partial_jE+2\partial_iF_j+h_{ij}$$

可以看到 $h_{ij}$ 是一个横向无迹分量 ($\partial_ih^{ij}=0$, $h^i{}_i=0$)，因此它就是引力波.

实际上可以涨落的只有某些项，现在考虑

$$x^\mu\to x'^\mu(x)=x^\mu+\delta x^\mu(x)$$

这是个矢量，和上面一样，它们的涨落都可以化为标量的涨落.

注意

进行一个抱歉，因为之前写 permalink 字段的时候失误了一下，因此现在最近三节课的网页链接要重新修改一次.

先说一下上节课没有推导出来的那个东西. 我们知道在 inflation 和 radiation dominated 的两个阶段，$\tau$ 的定义并不相同，但是我们可以要求 $x$ 的定义是相同的. 然后有边界条件：

$$a_{\text{RD}}(\tau_{\text{RH}}) = a_{\text{inf}}(\tau_{\text{RH}}),\quad H_{\text{RD}}(\tau_{\text{RH}})=H_{\text{inf}}$$

(RH 指的是 re-heating，也就是 inflation 和 RD 的转变时刻.) 接下来得到几个比例关系：

$$\begin{aligned} &H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho,\quad \frac{\mathrm{d}a}{a\mathrm{d}t}=H = \left(\frac{8\pi G}{3}\right)^{1/2}\rho_0^{1/2}\frac{a_0^2}{a^2}\\\\ &\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}\tau}=\frac{\mathrm{d}a}{a^{-1}\mathrm{d}t} = \left(\frac{8\pi G}{3}\right)^{1/2}\rho_0^{1/2}a_0^2\Longrightarrow a = \left(\frac{8\pi G}{3}\right)^{1/2}\rho_0^{1/2}a_0^2\tau \end{aligned}$$

于是

$$a_{\text{RH}} = a_0\tau_{\text{RH}}\Longrightarrow a_{\text{RH}} = -\frac{1}{H_{\text{RH}}\tau_{\text{RH}}^{\text{inf}}} = -\frac{a_{\text{RH}}^2}{a_0\tau_{\text{RH}}^{\text{inf}}}\Longrightarrow \tau_{\text{RH}}^{\text{inf}} = -\frac{a_{\text{RH}}}{a_0}$$

这就是上节课我们需要用到的内容：在暴涨时期膨胀的倍数需要和暴涨之后到今天膨胀的倍数至少同量级.

下面的内容大多数都是用这些软件完成的：AstroImageJ，Siril 以及 PixInsight.

这里有必要简单说一下各个软件的定位.

首先 AstroImageJ 是一个偏向学术上分析数据的软件，它有很多图像叠加、处理的功能，但是主要都是为了科研上的数据处理而服务，也就是说，它并不偏向于图片的编辑和美化 (或者说根本就没有这方面功能)，只是简单地把图片里面的数据整合好，能够做下一步的数据处理；另外它自己已经有很多数据整理的功能，我看到官网上面甚至写了可以用它画一个 exoplanet transit 的光变曲线出来. 它的使用比较简单，我们课堂上是用这个软件来演示如何做 RGB 滤镜的三色合成，以及更早的做星点对齐、叠加平场、暗场的基础操作.

Siril 是一个「astronomical image processing tool」，它包含了 AstroImageJ 对于图像处理的大多数功能，但是数据处理的能力稍微弱一点. 我自己体验下来发现，Siril 的星点对齐算法应该是比 AstroImageJ 先进一点，因为后者使用的是某个网站的 API，速度慢尚且不说，精度也就那样，不然服务器和数据传输的压力实在是有点大. 这个软件的一大优点在于，相比 PixInsight，它是免费的.

PixInsight (下称 PI) 可以说是深空摄影领域的集大成者，拥有非常强大的功能、高度自定义化的界面以及先进的算法. 缺点是极其昂贵，但是我们学校天文协会的学长给了我他的 License，因此我可以骗过官方的审查，姑且是免费地用着这个高贵的软件.

注意

说起这个，我校天文系曾经在大服务器上运行某个盗版软件供全系师生使用，但是某一位外国留学生非常看不下去这种「罪恶」的行径，遂向官方举报我们系的操作，导致我们系只能全款购买该软件的正版.

我想说的是，大家别举报我.

回到 PI，这东西另一个缺点是学习曲线极为陡峭，甚至初学根本无从下手. 如果有系统学习 PI 的需要，可以看看这个：PixInsight 入门到精通 | 星空 π 对，这应该是中文材料里面最权威的一个教程；另外我遇到一些问题也会去 PI 的官方论坛去看看有没有比较好的解答，这也是入门的一个比较好的参考资料. 不过鉴于我是在完成一项作业，在这种情境下可能用 AI 反而是最快的，因此我直接让我的 codex CLI 阅读我的 .fits 文件，告诉我使用 PI 修改的建议.

拍摄流程

首先肯定是要积累足够的数据. 要拍的内容有：平场、暗场、bias 和普通的各滤镜图像，其中只有 bias 是不需要和滤镜相关的，其他的图片要分通道拍摄. 当然，这里用是 CCD 的场合，如果用彩色 CMOS 应该是没这么多麻烦的事情，因为不用分通道 —— 但是用 CCD 一般来说会得到更好的数据.

下面是一个典型的文件结构：

.
├── biases
│   ├── 2026-04-17_14-06-16_LIGHT_S_1x1_8.80_gain56_0.00s_0037.fits
│   ├── ...
│   └── 2026-04-17_14-06-33_LIGHT_S_1x1_8.80_gain56_0.00s_0039.fits
├── darks
│   ├── _2025-06-10_04-52-52_DARK_H_-9.90_gain56_600.00s_0053.fits
│   ├── ...
│   └── _2025-06-10_05-12-55_DARK_H_-10.00_gain56_600.00s_0055.fits
├── flats
│   ├── FlatWizard-L_2026-04-22_20-30-34_FLAT_H_3.20_gain56_6.25s_0000.fits
│   ├── ...
│   └── FlatWizard-L_2026-04-22_20-30-51_FLAT_H_2.70_gain56_6.25s_0002.fits
├── lights
│   ├── 2026-04-16_22-08-21_LIGHT_H_1x1_0.50_gain56_600.00s_0002.fits
│   ├── ...
│   └── 2026-04-16_22-56-24_LIGHT_H_1x1_-0.00_gain56_600.00s_0004.fits
├── masters
│   ├── bias_stacked.fit
│   ├── ...
│   └── pp_flat_stacked.fit
├── process
└── result_H_6000s.fit

这是我的 H 滤镜，也就是 $\text{H}\alpha$ 谱线滤镜的图片文件夹，仅选取部分文件. 但是其实一开始并不是这样，是为了在 Siril 里面做图像叠加修改的文件结构，这一点之后会写.

一般开始的时候是会按照 flats, lights, biases, darks 的四个文件夹分类好，因为拍摄的时候它们分别是一起拍摄的；同时 lights 文件夹中的不同通道之间的照片一般也混在一起，因为都是在拍摄一段时间某个通道之后用滤镜轮换新的一个滤镜拍摄下一张. 这时只能通过图片命名中类似 *_R_* 这样的字段来判定它们分别是用什么滤镜拍摄的.

星点对齐和单通道叠加

前面说到，课堂上我们用的是 AstroImageJ 进行演示，然而我实际完成这个操作是使用 Siril.

AstroImageJ

1. 首先打开软件，选择顶栏的 Files，然后打开自己拍摄数据文件夹中的随机一个文件.

2. 之后选择顶栏的 Process，如图所示选择 Data reduction facility.

   

3. 上一步做完之后会跳出好几个窗口，首先选择下图这个界面，在 SIMBAD Object ID 中填写自己拍摄的目标的名称. 下图中示例选择的是 M101，我自己拍摄的是 NGC 2903.

   

   填写目标名称之后 AstroImageJ 会在数据库中搜索并且把后面的信息全部填写清楚.

4. 之后选择下图的窗口：

   

   这一步是最重要的构建步骤.

   1. 把所有的文件夹名称选择好，比如现在要构建 R 滤镜的各个 master image，那么就分别在 Bias Subtraction, Dark Subtraction, Flat Division 和 Science Image Processing 几处把文件夹的路径填写好，点击右边的文件夹图标可以直接在文件管理器或者 Finder 中选择. 右边第二栏是填写文件的通配名称，因为可能只要用到 R 滤镜的图片，所以在右边用含有通配符的文件名把所有 R 滤镜拍摄的图片选择出来. 这一点非常重要，因此请注意最右侧的那个数字，如果和实际 R 滤镜拍摄的图片数量不一致，那么就要检查是不是通配文件名的某些地方写法有问题.

   2. 第一个要构建的是 bias. 这时候把所有的几个功能中的 Enabled 选项都取消掉，Build 选项只留下 Bias Subtraction 的那一个，然后点击下面的 START. (当然，要 Enable 最上面的那几个文件名通配符选项，不然无法读取文件.)

   3. 构建 bias 之后，AstroImageJ 会在 bias 文件夹下输出一个 master bias 文件，这是将所有 bias 合成之后的结果. 现在取消 Bias Subtraction 的 Build 选项，选择 Enable，然后选择 Dark Subtraction 的 Build 选项，也就是利用已经构建好的 master bias 来构建 dark.

      点击 START.

   4. 接下来按照同样的步骤构建 flat，也就是取消选择前两个的 Build 选项，改为 Enable，并选择 Flat Division 的 Build 选项，点击 START.

      关于 Image Correction 的选项：勾选 Plate Solve 之后会自动处理 bias, dark 和 flat 的不同曝光时间，所以建议勾选让图片亮度更加正常.

   5. 最后构建这个滤镜总的图像. 也就是，点击下面 Save Calibrated Images 的 Enable 选项，并且将 master flat，master bias 和 master dark 全部 Enable，之后点击 START，这样就获得了初步处理过后的某一个滤镜对应的所有图片. 当前的情况是，每个滤镜的 light 图片都已经经过处理，可以开始下一步的对齐与合成.

5. 现在选择顶栏的 Files - Import - Image Sequence. 弹出下面的这个窗口：

   

   这里基本不用改变默认的配置，如果需要的话可以更改 Filter 后面的名字，标注一下这是哪一个滤镜的图片以便后续做区分. 之后直接点击 OK 就能导入单个滤镜的所有图片，作为一个 image sequence.

6. 对齐 image sequence. 导入之后自动弹出一个文件预览窗口，聚焦这个窗口对图片序列进行操作. 选择顶栏的 Process - Align Stack using WCS or apertures，弹出下面的窗口：

   

   (勾选的部分和图片一致即可.)

   配置好选项后点击 OK，这时候鼠标指针会变成一个十字架的形状，用鼠标在图像序列中的任意一张图片上选择几个比较亮的星点，作为对齐的基准 (大概三到十个差不多，多选的话可能跑的慢一点). 选择足够的星点之后 Enter，开始进行图像对齐.

   提示

   这里有一个 tricky 的点，如果在拍摄某一个目标的时候发生了翻中天之类的操作，整个图像会翻转 180 度. 实际上 AstroImageJ 在设计上应该是可以自动处理这一类的问题，但是我实际使用的时候发现它做得非常差... 因此我当时采取的措施是，不自己来选星点，而是选择顶栏 WCS - Plate solve using Astrometry.net (with options)... 这个选项. 选完之后会弹出这个窗口：

   

   (这个图是我写文章的时候临时截图的. 而且我想吐槽一句为什么 MacOS 自己的截图功能会导致图片周围有一圈透明部分... 虽然我知道这样看起来很高级很炫酷就是了...)

   其中，那个 API key 之类的东西可以去 nova.astrometry.net 申请一个，似乎能通过 GitHub 账号登录之类，反正几分钟就可以弄好. 由于我并不清楚上述图片中选项的具体含义，因此我也没有改变默认设置，直接点击 START 开始标定. AstroImageJ 这时候会调用上述那个网站的 API，然后由它的算法自动选定点进行标定；这样做的好处是，它应该是直接把标定的内容和方向等信息写进了这个 .fits 格式图片的 header 里面，所以后面处理翻中天或者是某些星点的位置发生变化的时候，效果比之前手动选择要好不少；缺点也很明显，跑起来异常缓慢，可能一张比较大的文件要跑十几分钟.

   总之这一步把整个图像序列中的所有图片全部对齐好了，下一步可以进行合成操作.

7. 选择顶栏选项 Process - Combine stack slices into single image...，检查一下图片数量没什么问题，选择 Sum Slices，点击 OK 开始单通道合成. 最终输出的结果就是这个滤镜的所有图像合成的结果.

   注意

   这里可能出现一种异常情况：星点看起来不是一个点，而是一条线，像是被拉长了. 这种问题只有一种可能 —— 望远镜拍摄的时候导星偏了. 补救的措施是，回到上一步对齐的步骤，找找是哪一张图片偏离比较大，然后把它排除在合成的图像序列之外. 至少这是用 AstroImageJ 的一种解决方案，当然这个方案并不是很好，但是实属无奈之举. 如果用其他软件，它们的算法内会有相应的一些功能可以优化最后的图片质量.

以上是 AstroImageJ 的星点对齐和单通道叠加方法. 下面我们来看看 Siril 如何完成这些操作.

Siril

Siril 将上面所有操作集成在一个脚本中. 但是 Siril 不人性化的地方在于，它强制要求这个脚本处理的所有图片按照自己的规定存放在特定名称的文件夹中，否则 Siril 根本无法找到对应的文件，会直接退出脚本.

并不知道到底是谁想出来这种逆天设计的... 但凡做个通配符呢？不过我看 Siril 似乎可以自己导入脚本，没准有时间在 codex 帮助下能够写一个更加智能的版本出来罢.

Siril 以「工作目录」作为自己工作的主线. 如果想要完成星点对齐和单通道合成这样的操作，那么文件目录应该是这样的：

.
├── B
├── G
├── H
│   ├── biases
│   │   ├── 2026-04-17_14-01-34_LIGHT_S_1x1_8.30_gain56_0.00s_0000.fits
│   │   ├── ...
│   │   └── 2026-04-17_14-06-33_LIGHT_S_1x1_8.80_gain56_0.00s_0039.fits
│   ├── darks
│   │   ├── _2025-06-10_03-42-41_DARK_H_-10.00_gain56_600.00s_0046.fits
│   │   ├── ...
│   │   └── _2025-06-10_05-12-55_DARK_H_-10.00_gain56_600.00s_0055.fits
│   ├── flats
│   │   ├── FlatWizard-L_2026-04-22_20-30-34_FLAT_H_3.20_gain56_6.25s_0000.fits
│   │   ├── ...
│   │   └── FlatWizard-L_2026-04-22_20-33-00_FLAT_H_-1.30_gain56_6.25s_0019.fits
│   └── lights
│       ├── 2026-04-16_22-08-21_LIGHT_H_1x1_0.50_gain56_600.00s_0002.fits
│       ├── ...
│       └── 2026-04-17_01-17-04_LIGHT_H_1x1_-9.90_gain56_600.00s_0011.fits
├── L
└── R

上面其实写过一次了，这里重申一遍. 注意，所有和脚本有关的文件夹 (flats, lights, biases, darks) 名字都不能更改，必须严格等于当前的名字，否则脚本报错.

在 Siril 中选择左上角那个小房子的图标，这代表选择工作目录. 然后选择某一个滤镜对应的文件夹，这里以 H 为例. 选择之后，点击 脚本 - Siril 脚本文件 - Mono_Preprocessing.ssf. 系统会自动开始运行脚本，可以在右侧的 log 中看到脚本当前的状态.

脚本运行结束之后生成的文件就是完成单通道合成之后的结果，一般用 result_... 来命名.

RGB 合成 & 基础后期处理

我并没有使用过 AstroImageJ 进行过三色合成，所以下面用 Siril 和 PixInsight 来完成三色合成的工作.

Siril

仍然是几步点击就可以完成，当然效果实在一般. 我们在上一步已经得到每个通道的 master 文件，这里直接点击「图像处理」里面的「合成 - RGB 合成」即可，如下图：

在弹出的窗口界面中，为每个通道选择对应的文件：这里，luminance 对应 L 通道；如果像我一样有 H 通道的图片，可以点击 + 号添加，H 通道就是 H$\alpha$ 滤镜对应的通道.

在完成初步的合成之后就是进一步的调整了. 在 Siril 中，一般直接选择「图像处理 - 拉伸」中的直方图拉伸即可，点击弹出窗口中带齿轮的图标即可开始自动拉伸. 但是效果并不是很好，因此只能手动用鼠标调整各个通道的曲线，这一过程异常折磨且很难调出想要的结果，因此我想在这里略去它.

PixInsight

用 PI 最好的地方就是它太全面了. 下面是 PI RGB 合成的方法 (其中很大一部分是我边修改边和 GPT 的对话形成的)：

成果

以上是整个图像处理中我完成的所有具体操作. 最终我采用的是 Siril 对齐、PI 做颜色合成和后期处理的方式，成果如图：

看起来还不赖 (至少作为初次尝试？)，当然可提升空间还很大很大. 下次再有拍摄的机会我可能会尝试用 PS 多做一些调整，希望能够得到更好的图像.

$$\mathrm{d}s^2=a^2(-\mathrm{d}\tau^2+\mathrm{d}\vec{x}^2)$$

有 $\tau\sim t^{1/2}\sim a$ ($0<\tau<\infty$). 我们看到的光子来自 $T\simeq0.3\text{ eV}$ 的时代，所以我们可观测宇宙的边界就在此处，这被称为 last scattering surface (最后散射面). 在此之前，两个最远端的光子再往前画光锥，应该能够相交，否则它们之间没有任何关系. 当前观测到的 CMB 能量是 $2.73\text{ K}$，对应 $3\times 10^{-4}\text{ eV}$，与最后散射面之间的红移刚好是 $1100$，可以用三角相似的关系推出过去光锥应该无法相交，这是减速膨胀宇宙的固有问题.

如果宇宙加速膨胀呢？尝试一下，假设 $a\sim t^p$，那么 $\mathrm{d}\tau=a^{-1}\mathrm{d}t=t^{-p}\mathrm{d}t$，于是 $\tau=-(p-1)^{-1}t^{-p+1}$，当然我们已经设定了 $p>1$. 现在 $\tau$ 是负的，也就是说最后散射面之前的光锥现在可以无限延长了，可以相交，这就能够解决所谓的 horizon problem.

所以那时 Guth 等几个科学家分别提出了暴涨的理论.

现在我们考虑一下怎么实现一个加速膨胀的宇宙. 这并不是一个很困难的事情，那时候人们已经知道由能量主导的宇宙会加速膨胀，

$$H_0^2=\frac{8\pi G\rho}{3}=\text{const.}\Longrightarrow\frac{\dot{a}}{a}=H_0^2\Longrightarrow a=a_0e^{H(t-t_0)}$$

人们现在想要构造一个真空能出来. Guth 构造了下面的场：

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\partial^\mu\phi-V(\phi)$$

本来对于一些平常的粒子，这里的 $V$ 本来应该写类似于动能加势能的东西，但是现在这个场有相互作用，因此写一个一般的形式. 这个真空场的能量曲线上有两个低谷，其中更高的稳定平衡被认为是暴涨，但是之后会 tunneling 回到更低的态，也就是结束暴涨. 但是 Guth 的想法最大的问题是，这个状态如果要存在足够久，那么一级相变的反应率就要远远低于 $H$，这会导致无法落回更低的态.

Linde 提出一个更简单也更好的模型. 考虑作用量

$$S=\int\mathrm{d}^4x\sqrt{g}\left[-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-V(\phi)\right]$$

我们仔细算一下作为练习.

$$\begin{aligned} S &= \int\mathrm{d}t\mathrm{d}^3x\cdot a^3\left\{\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}a^{-2}\left[\sum_i\left(\frac{\partial\phi}{\partial x^i}\right)^2\right]-V(\phi)\right\}\\\\ &= \int\mathrm{d}t\mathrm{d}^3x\cdot\underset{\mathcal{L}(\phi)}{\underline{\left[\frac{1}{2}a^3\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}a\sum_i\left(\frac{\partial\phi}{\partial x^i}\right)^2-a^3V(\phi)\right]}} \end{aligned}$$

带着积分做变分 (为了更好地算偏导数那一项)，

$$\begin{aligned} &\int\mathrm{d}^3x\left[\frac{\partial}{\partial t}(a^3\dot{\phi})+a^3\frac{\partial V}{\partial\phi}+a\frac{\partial\phi}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial x^i}\delta^3(x-y)\right]\\\\ \Longrightarrow \quad&\frac{\partial}{\partial t}(a^3\dot{\phi})+a^3\frac{\partial V}{\partial\phi}-a\nabla^2\phi=0\\\\ \Longrightarrow \quad&a^3\ddot{\phi}+3a^2\dot{a}\dot{\phi}+a^3\frac{\partial V}{\partial\phi}-a\nabla^2\phi=0\\\\ \Longrightarrow\quad&\ddot{\phi}+3H\dot{\phi}+\frac{\partial V}{\partial\phi}=0 \end{aligned}$$

这是一个 $\phi$ 的阻尼振荡，我们取第三项为 $m^2\phi$. 当 $H\ll m$ 时，这是一个衰减振幅的振荡 (但是是低阻尼)，可以振荡很多个周期，$\phi\sim e^{-Ht}\cos\omega t$；反之，是过阻尼，这时候近似解为 $\phi\sim e^{-m^2t/3H}$. 那么这时候 $\phi$ 缓慢演化，给了暴涨足够的时间，然后突然下降到很低的值使得宇宙进入正常的膨胀阶段.

也就是随着 $m$ 变化，$\phi$ 先缓慢衰减，然后到 $m\gg H$ 的时候迅速下降.

当然只要势能足够平坦，就能实现上面这种过程. 实际上就是把过阻尼应用到整个宇宙上面.

$$d=1,\quad m_1+m_2=1,\quad \omega=1,\quad G=1$$

这样，有效势能变为

$$\phi_{\text{eff}} = -\frac{m_1}{r_1}-\frac{m_2}{r_2}-\frac{1}{2}r^2$$

用余弦定理得到

$$r_1^2=1+r_2^2+2r_2\cos\theta,\quad r^2=m_1^2+r_2^2+2m_1r_2\cos\theta$$

取倒数，得到

$$\frac{1}{r_1}=\frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx 1-r_2\cos\theta+\frac{3\cos^2\theta}{3}r_2^2$$

代入有效势能，

$$\phi_{\text{eff}} = -m_1+m_1\cos\theta\cdot r_2-\frac{3\cos^2\theta-1}{2}m_1r_2^2-\frac{1}{2}m_1^2-m_1\cos\theta\cdot r_2-\frac{1}{2}r_2^2-\frac{m_2}{r_2}$$

把常数项撇掉，

$$\phi_{\text{eff}} = -\frac{m_2}{r_2}-\frac{3\cos^2\theta-1}{2}m_1r_2^2-\frac{1}{2}r_2^2$$

第二个近似是考虑 $m_2\ll m_1\simeq 1$. 这时候，

$$\phi_{\text{eff},x}=0\Longrightarrow x=\left(\frac{m_2}{3}\right)^{1/3}$$

恢复量纲之后是 $(m_2/3m_1)^{1/3}d$，这被称为 Hill radius. 对于日地系统，Hill 半径大约是 $0.01$ AU，这被当作判断是归属于谁的引力范围的判据，也就是在地球附近 $0.01$ AU 的天体被视为处于地球引力范围之内，反之则属于太阳的引力范围.

如果地球太靠近太阳，那么很有可能出现 $R_{\text{Hill}}<R_E$ 的情况，也就是 Hill 半径比地球半径还要小，这时候地球上的所有东西都会脱离地球的掌控，这给出的日地距离限制被称为 Roche limit. 计算可知：

$$R_2 = R_{\text{Hill}}\Longrightarrow d=\left(\frac{3\rho_1}{\rho_2}\right)^{1/3}R_1$$

更精确的计算表明系数是 $2.4$ 左右.

General Pattern

有几类：没有亲代抚育、由雌性单独提供亲代抚育、由雄性单独提供亲代抚育、双亲共同提供亲代抚育.

第一类主要是无脊椎动物，我们这节课不仔细讨论. 先从鸟类这种主要由双亲共同提供亲代抚育的类型来说. 一般而言，雏鸟能否成活取决于食物的总量，而双亲共同抚育能够提供的食物能够更多. 但是如果当前几乎没有足够的食物，那么首先放弃的一般是雄鸟. 两个因素：

• 首先从生殖结构来说，鸟类一般是体内受精，因此雄性只需要提供精子，不需要其他投入，因此它有更好的机会放弃；
• 同时雄鸟可以在一次繁殖周期内获得多次交配的机会，因此它提供抚育的时间也相应压缩.

雌性单独抚育：以哺乳动物为例，在怀孕阶段雄性就无法提供足够的帮助，同时「哺乳」是仅有雌性可以完成的工作.

雄性单独抚育：主要是鱼类. 鱼类是体外受精，可以提供很强的父权的确定性，父亲可以完全确定这一批卵是否是自己的受精产生的，因此具有比较高的提供亲代抚育的意愿. 另一个可能的假说是，亲代抚育的主要产出由配子的顺序有关.

还有一种假说是说亲代抚育由谁提供，取决于亲代哪一方和子代的关系更紧密：对于体内受精，发生在雌性体内；对于体外受精，发生在雄性的领地内. 某种程度上可以解释上面的现象.

Brood Parasites (巢寄生)

以杜鹃科作为最主要的代表，最终保证巢中的雏鸟只有杜鹃雏鸟自己，这是一种完全的排他性. 但是我们之前说到亲子冲突的问题，大杜鹃雏鸟过多的要求不利于这种亲子关系，会导致一系列问题.

$$\frac{\mathrm{d}n_1}{\mathrm{d}t}+3Hn_1 = n_1^{(0)}n_2^{(0)}\langle\sigma v\rangle\left\{\frac{n_3n_4}{n_3^{(0)}n_4^{(0)}}-\frac{n_1n_2}{n_1^{(0)}n_2^{(0)}}\right\}$$

(这里的 $(0)$ 代表初态.) 我们上节课说是从 $1\text{ GeV}$ 开始演化，但是这并不是很合理，比较合理的取值是从 $10\text{ MeV}$ 开始演化，这是因为实际上从高能标开始演化，会存在不少 $\pi^{\pm}$、$K^{\pm}$ 等高能量的粒子，但是选低能标就会有压低 $e^{-m/T}$，我们只需要考虑 $p$ 和 $n$.

关于为什么 $p,n$ 要考虑但是同静能量量级的其他粒子不用考虑：因为重子数守恒，低能下也会存在大量 $p,n$.

Gamov 幸运的点在于 $^4\text{He}$ 结合能很高，很稳定. 这里再思考一步：因为中子不稳定、会衰变，因此所有中子最后都会跑到 $\text{D}$ 里面，我们只需要计算前四步的反应中留下多少中子.

$$\begin{aligned} &p+\overline{\nu}\longleftrightarrow n+e^+\\\\ &p+e^-\longleftrightarrow n+\nu\\\\ &n\longleftrightarrow p+e^-+\overline{\nu}\\\\ &p+n\longleftrightarrow \mathrm{D}+\gamma \end{aligned}$$

为什么中子到氘核里之后不衰变：因为氘核结合能使得中子能量变低，甚至低于质子能量，所以中子已经没有能量进行产生质子的衰变了.

我们想知道什么时候氘核大量形成. 虽然看起来热平衡时上面几种粒子的相对数量不太会变化，但是在爆炸之后不久，光子数很多，我们之前引入的量 $\eta_B=n_B/n_\gamma\sim 10^{-10}$ 量级，因此短时间内还不会大量形成氘核. (额外说明：$\eta_B$ 随着 $T$ 几乎是守恒的，这一点可以通过计算分子分母随着 $T$ 的依赖来得到.)

对于最后一个反应：(光子数几乎守恒，因为温度没有大幅度变化)

$$\frac{n_{\text{D}}n_\gamma}{n_{\text{D}}^{(0)}n_\gamma^{(0)}} = \frac{n_nn_p}{n_n^{(0)}n_p^{(0)}}\Longrightarrow\frac{n_{\text{D}}}{n_pn_n} = \frac{n_{\text{D}}^{(0)}}{n_p^{(0)}n_n^{(0)}}$$

其中，RHS：

$$g\int\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}\cdot e^{-(m+p^2/2m)/T} = \frac{3}{4}\left(\frac{4\pi}{m_pT}\right)^{3/2}e^{B_{\text{D}}/T}$$

氘核自旋 $1$，简并度 $g=3$.

得到

$$\frac{n_{\text{D}}}{n_n} = \frac{3}{4}n_p\left(\frac{4\pi}{m_pT}\right)^{3/2}e^{B_{\text{D}}/T}$$

这里的质子数密度 $n_p\sim n_B\sim\eta_Bn_\gamma\sim \eta_BT^3$. 核合成开始的标志就是上述这个量从很小开始趋于 $\mathcal{O}(1)$，也就是中子开始跑到氘核内部. 微调这里的 $T$ (这是一个唯一的参数)，最后得到的 $T$ 差不多在 $\text{MeV}$ 量级. 到此核合成开始.

额外提一下，最开始的反应 $p+\overline{\nu}\longleftrightarrow n+e^+$，这个反应也不能一直处于热平衡. 但是巧合在于这是弱相互作用，区别于氘核形成的电磁相互作用，在低能下弱相互作用极其微弱 (当然高能时它甚至强于电磁).

另外，所有的核反应都必须和 Hubble expansion 抗争，质子首先要找到一个中微子发生反应，这件事情也是不容易的. 因此第一个反应没那么容易发生，导致了现在的宇宙.

不过如果最开始选择的是第一个反应而不是氘核合成，我们的宇宙可能会是完全另一幅景象.

简单用轻子 ($\ell$) 来描述反应：$p+\ell\longleftrightarrow n+\ell$.

$$\frac{\mathrm{d}n_n}{\mathrm{d}t}+3Hn_n=n_n^{(0)}n_\ell^{(0)}\langle\sigma v\rangle\left\{\frac{n_pn_\ell}{n_p^{(0)}n_\ell^{(0)}}-\frac{n_nn_\ell}{n_n^{(0)}n_\ell^{(0)}}\right\} = n_\ell^{(0)}\langle\sigma v\rangle\left\{\frac{n_pn_n^{(0)}}{n_p^{(0)}}-n_n\right\}$$

这里假设 $n_e=n_\nu=n_e^{(0)}=n_\nu^{(0)}=n_\ell^{(0)}$. 重子数守恒：

$$\frac{\mathrm{d}(n_n+n_p)}{\mathrm{d}t}+3H(n_n+n_p)=0$$

定义 $X_n=n_n/(n_n+n_p)$，把反应率简写为 $\Gamma_{np}=n_\ell^{(0)}\langle\sigma v\rangle$，那么上述两方程化为

$$\frac{\mathrm{d}X_n}{\mathrm{d}t}=\Gamma_{np}\left[(1-X_n)e^{-Q/T}-X_n\right],\quad Q=m_n-m_p$$

这里的时间实际上并没有很多实际含义，只是标定演化的一个物理量罢了. 为了把它消掉，我们用

$$\frac{\mathrm{d}T}{T\mathrm{d}t}=-H$$

这来源于 $s\sim T^3\sim a^{-3}$，宇宙的熵密度.

同时，

$$H=\left(\frac{8\pi G\rho}{3}\right)^{1/2}\sim T^2\sim a^{-2}$$

用下面的 $x$，$H\sim x^{-2}$.

定义 $x=Q/T$，那么原来的微分方程变成了 $X_n$ 和 $x$ 的微分方程，

$$\frac{\mathrm{d}X_n}{\mathrm{d}x}=\frac{x\Gamma}{H(x=1)}\left[e^{-x}-X_n(1+e^{-x})\right]$$

初始条件为 $x\simeq 1$，$X_n=1/2$. 利用弱相互作用的结论可以算出

$$\Gamma = \frac{255}{\tau_nx^5}(12+6x+x^2)$$

这里的 $\tau_n$ 是中子衰变的一个时间参数，$\tau_n\simeq 900\text{ sec}$. 而

$$H(x=1)\simeq\sqrt{\frac{8\pi GQ^4}{3}}\simeq 1.13\text{ sec}^{-1}$$

这也导致 $\Gamma(x)/H(x=1)$ 差不多是 $1$ 量级，这保证了当前宇宙能够留下这么多的中子，这完全是一个巧合，因为一旦上面这个量趋于零的速度再快一点或者慢一点，最后平衡时留下的中子数就不是当前这个值；这个过程叫作 freeze out 机制，也就是宇宙降温留下了中子，否则如果一直热平衡，中子会被全部消耗.

最开始这件事情是 Gamov 做的. 他认为可以通过元素的结合能来计算整个宇宙中元素的丰度，一层一层算下来可以算出所有元素的含量是多少. 当然在那时候 (快一百年以前)，没有计算器，很难算出正确的答案；但是非常幸运的是，元素的结合能中 $^4\text{He}$ 的结合能远远大于其他的，因此原初合成到这里就停止了，让这种计算变得可行. 这节课我们来算 $^4\text{He}$ 的元素丰度，作为一个宇宙学的练习.

首先做一些量纲分析：我们知道从量纲上来说，可以算出一个引力的能标，planck mass，

$$M_{\text{pl}}=\sqrt{\frac{1}{8\pi G}}\approx 1.22\times10^{19}\text{ GeV}$$

为了理解这个能标大约是多大，我们看下面几个质量：

$$\begin{aligned} &m_p\approx m_n\approx 1\text{ GeV},\quad m_{\text{top}}=173\text{ GeV}\,\,(\text{most massive quark}) \end{aligned}$$

因此这个能标非常大，虽然超过能标之后引力理论必须被修改，但是这个量已经大到仅有宇宙早期能够达到.

用量纲分析的角度来考虑一个辐射主导的宇宙，

$$H = \frac{\dot{a}}{a}\sim\frac{\rho^{1/2}}{M_{\text{pl}}}\sim\frac{T^{1/2}}{M_{\text{pl}}}\ll T$$

而任何一个反应的 rate 都是 $T$ 的量级，因此我们可以认为，所有反应在 Hubble expansion 的时间尺度上已经平衡了，下面我们研究的宇宙都是热平衡的.

热力学第一定律：

$$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V$$

而 $U=\rho(T)V$，代入之后我们得到

$$\mathrm{d}U = V\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}T}\mathrm{d}T+\rho\mathrm{d}V\Longrightarrow \mathrm{d}S = \left(\frac{1}{T}\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}T}V\right)\mathrm{d}T+\left(\frac{\rho+p}{T}\right)\mathrm{d}V$$

这定义了一个偏微分，

$$s \equiv\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\frac{\rho+p}{T}$$

经过一些热力学的计算我们得到 $\rho$ 的具体形式，

$$\rho = \left\{\begin{aligned} &\frac{\pi^2}{30}gT^4,\quad\text{boson}\\\\ &\frac{7}{8}\frac{\pi^2}{30}gT^4,\quad\text{fermion} \end{aligned}\right.$$

这里 $g$ 是某种简并度. 但是很多人认为，暗物质自己会形成 section，和我们之间是 decouple 的，就比如和我们之间只有弱相互作用的中微子，它们早在宇宙温度为 $1\text{ MeV}$ 的时候就已经和我们 decouple 了. 所以我们定义一种 $g_*$，写成

$$g_* = \sum_{\text{boson}}g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^4+\frac{7}{8}\sum_{\text{fermion}}g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^4,\quad \rho =\frac{\pi^2}{30} g_*T^4$$

现在看具体的 $g_i$：首先对于 6 种 quark，都要乘 $2$；然后对于 3 种中微子，乘 $2$；对于 $e,\mu,\tau$ 要乘 $4$；还有胶子 (gluon)，它有 $8$ 个自由度. 最后加起来大概是 $g_*\approx 110$. 宇宙的熵密度：

$$s=\frac{\rho+p}{T} = \frac{2\pi^2}{45}g_{*s}T^3,\quad g_{*s}=g_* = \sum_{\text{boson}}g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^3+\frac{7}{8}\sum_{\text{fermion}}g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^3$$

一开始 $\nu$，$\gamma$ 和 matter 是平衡的，最早是 $\nu$ 与其他两者 decouple，在这个时间段，同时也在发生 $e^++e^-\longleftrightarrow\gamma+\gamma$ 的反应，而温度再降低一点之后 $e$ 开始变成非相对论性，反应平衡大幅右移，产生一次再加热，这时候 $(e,\gamma)$ 体系和中微子体系的温度就产生了比较大的差异.

这不是我们星系与宇宙吗，详见：.

对于没有相互作用的粒子，

$$\frac{\mathrm{d}(na^3)}{\mathrm{d}t}=0\Longrightarrow \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t}+3Hn=0$$

大多数粒子是有量子相互作用的，散射的概率一定正比于 $|\langle\psi_f|H|\psi_i\rangle|^2$ 这样的东西. 考虑 $1+2\to 3+4$，它们的分布分别是 $f_i$，那么类似 Boltzmann 积分微分方程，

$$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}n_1}{\mathrm{d}t}+3Hn_1 = A[f_3f_4(1\pm f_1)(1\pm f_2)-f_1f_2(1\pm f_3)(1\pm f_4)]\\\\ &A=\int\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3(2E_1)}\int\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3(2E_2)}\int\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3(2E_3)}\int\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3(2E_4)}|M(12\to34)|^2(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4) \end{aligned}$$

其实不应该分两行来写，但是实在写不下了，我的 Typora 已经是调整过 max-width 的也写不下.

其中 $f_i$ 那些项是 collision terms，在平衡时它们就是零，这也就是那些平衡分布的来源.

进行近似，认为我们的 Fermi-Dirac 分布能够近似为 Boltzmann 分布，同时把相空间的那些积分写成一个碰撞频率的形式，也就是 $\langle\sigma v\rangle$，最终得到

$$\frac{\mathrm{d}n_1}{\mathrm{d}t}+3Hn_1=n_1^{(0)}n_2^{(0)}\left[\frac{n_3n_4}{n_3^{(0)}n_4^{(0)}}-\frac{n_1n_2}{n_1^{(0)}n_2^{(0)}}\right]\langle\sigma v\rangle$$

考虑温度 $T\gg m_n-m_p$ 的时候，这时候宇宙年龄还不到 $1\text{ s}$，因此可以忽略 neutron 的衰变问题. 在这个时间点算核合成，条件有：baryon 和 $\gamma$ 的数密度比

$$\eta = \frac{n_b}{n_\gamma}=6.2\times10^{-10}$$

然后结合能 (binding energy)

$$B=Zm_p+(A-Z)m_n-m$$

发生下述反应：

$$\begin{aligned} &p+\overline{\nu}\longleftrightarrow n+e^+\\\\ &p+e^-\longleftrightarrow n+\nu\\\\ &n\longleftrightarrow p+e^-+\overline{\nu}\\\\ &p+n\longleftrightarrow D+\gamma\\\\ &D+D\longleftrightarrow n+{}^3\text{He}\\\\ &^3\text{He}+D\longleftrightarrow p+{}^4\text{He} \end{aligned}$$

$^4\text{He}$ 在结合能曲线上刚好是一个很高的峰，因此元素形成就 stuck 在这个位置，直到原初恒星形成，才逐渐生成其他的元素.

以 $3:2$ 为例，resonance angle 是 $\phi_{12}=3\lambda_2-2\lambda_1-\omega_2$ (其中 $\omega_2$ 是第二颗行星轨道的偏角，$\lambda$ 是两颗星的位置角度). 它们之间夹角的变化率：

$$\langle\dot{\phi}_{12}\rangle=\langle 3n_2-2n_1-\dot{\omega}_2\rangle\approx 0$$

角度还可以写成

$$\phi_{12}=2(\lambda_2-\lambda_1)+(\lambda_2-\omega_2)$$

如果偏心率不是很大，那么 $\lambda_2\approx\lambda_1$，而第二项是所谓的 conjunction $M_2$. 这个 $\lambda$ 是以近日点作为起点计算的转角，因此当 $\phi_{12}=0$ 时 (resonance 发生)，两颗星体都在近日点，也就是轨道最靠近的位置.

上面减去的是第二颗星轨道的偏角，所以也可以说是 $\phi_{12,2}$；下面研究 $\phi_{12,1}$，也就是

$$\phi_{12,1} = 3\lambda_2-2\lambda_1-\omega_1=3(\lambda_2-\lambda_1)+(\lambda_1-\omega_1)$$

仍然是 $0+M_1$. resonance angle 一般是不会变化的，是一个守恒量.

在 conjunction point 附近，内部的行星在向后吸引靠外的那颗行星，因此外侧的行星失去一些角动量；但是失去角动量意味着速度更快了，所以新的一次 conjunction 会延迟发生.

resonance forcing equations：(for $j+1:j$ resonance)

$$\begin{aligned} &\dot{a} = 2(j+\delta_1)G_e^jq_1n_1ae\sin\phi_{\text{res}}\\\\ &\dot{e} = G_e^jq_1n_1\sin\phi_{\text{res}}\\\\ &\dot{\phi}_{\text{res}} = -\Delta n_{\text{res}}+G_e^j\frac{q_1n_1\cos\phi_{\text{res}}}{e} \end{aligned}$$

当然这些计算是非常 hardcore 的力学理论，现在很多人们习惯直接模拟 $N$-body 的 Newton 方程，然后强行解出这些问题.

3-Body Problem

我们只讨论 circular restricted 3-body problem，也就是两体相互绕转、第三体质量很小的限制性三体问题.

坐标系中心建立在两个更重的天体的质心位置，同时我们认为这两个天体的轨道偏心率是 $0$. 于是，

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}&=\ddot{\vec{r}}+\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}+\omega\times(\dot{\vec{r}}+\vec{\omega}\times\vec{r})\\\\ \Longrightarrow \ddot{\vec{r}} &= (\underset{\text{Coriolis}}{\underline{-2\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}}})+(\underset{\text{centrifugal}}{\underline{-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}})})-\nabla\phi \end{aligned}$$

在旋转系中，有 Coriolis 力和离心力. 现在依旧是两边同时点乘一个 $\dot{\vec{r}}$，得到

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dot{r}^2\right) &= 0-(\vec{\omega}\times\vec{r})\cdot(\dot{\vec{r}}\times\vec{\omega})-\dot{\vec{r}}\cdot\nabla\phi = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)^2-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$$

得到一个运动积分，

$$\mathcal{J} = \frac{1}{2}r^2+\phi-\frac{1}{2}(\vec{\omega}\times\vec{r})^2$$

这被称为 Jacobian energy. 我们可以定义有效势能为 $\displaystyle{\phi_{\text{eff}}=\phi-\frac{1}{2}(\vec{\omega}\times\vec{r})^2}$.

定义 $r_{12}=d$ (fixed)，$r_{13}=r_1$，$r_{23}=r_2$，第三颗天体到两颗大天体质心的距离为 $r$. 这时候我们可以写出具体的有效势能，

$$\phi_{\text{eff}} = -\frac{Gm_1}{r_1}-\frac{Gm_2}{r_2}-\frac{1}{2}\omega^2r^2$$

小天体 $x$ 方向受力为

$$\phi_{\text{eff},x}=-\frac{Gm_1}{r_1^3}(x-x_1)-\frac{Gm_2}{r_2^3}(x-x_2)-\omega^2x$$

而且我们知道 $\displaystyle{x_1=-\frac{m_2}{m_1+m_2}d}$，$\displaystyle{x_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}d}$. 同理，$y$ 方向是

$$\phi_{\text{eff},y}=-\frac{Gm_1}{r_1^3}y-\frac{Gm_2}{r_2^3}y-\omega^2y$$

先看 $y$ 方向平衡. 有两种情况：第一种是简单的 $y=0$；另一种是 $r_1=r_2=d$，也就是三者形成等边三角形 (这里可以直接解出来两个 Lagrange 点，$L_4$ 和 $L_5$).

对于 $y=0$，$x$ 方程为

$$-\frac{Gm_1}{|x-x_1|^3}(x-x_1)-\frac{Gm_2}{|x-x_2|^3}(x-x_2)-\omega^2x=0$$

有三个解.

Einstein 方程：

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$$

其中 LHS 是宇宙的几何，RHS 是所有正常物质的能动张量. 这看起来很简单，我们已经完全把几何和物质分开了. 由于宇宙是均匀而各向同性的 (更严格地说，是宇宙的「背景」是均匀各向同性的)，宇宙的度规应该能写成

$$\mathrm{d}s^2 =-\mathrm{d}t^2+a^2\left[\frac{\mathrm{d}r^2}{1-kr^2}+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2\right]$$

这个 $k$ 是一个可以调整的参数，

$$k = \left\{\begin{aligned} &1,\quad \text{closed}\\\\ &0,\quad \text{flat}\\\\ &-1,\quad \text{open} \end{aligned}\right.$$

而 $a$ 是一个随时间演化、描述宇宙膨胀的量，简单来说就是距离 $l$ 随时间变化为 $l = a(t)|\vec{r}_2-\vec{r}_1|$.

直接说三维弯曲空间，显然无法想象；但是我们可以先从二维入手：对于一个 closed 的二维弯曲空间，且各个位置的曲率相同 (因为我们有各向同性)，那么它会弯曲成一个球面. 在三维下，我们用 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$ 来描述这样一个二维弯曲空间. 为了在二维上描述这个度规，考虑把三维的坐标 confine 到二维上，三维的度规是

$$\mathrm{d}l^2 = \mathrm{d}x_1^2+\mathrm{d}x_2^2+\mathrm{d}x_3^2$$

如果投影的小面元正好垂直于 $x_3$ 轴，那么可以尝试消掉 $\mathrm{d}x_3$，由上式得到

$$\mathrm{d}x_3 = -\frac{x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2}{x_3} = -\frac{x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2}{\sqrt{R^2-x_1^2-x_2^2}}$$

再取一个极坐标 $x_1=r\cos\theta$，$x_2=r\sin\theta$，那么

$$\mathrm{d}x_3^2=\frac{(x_1\mathrm{d}x_1+x_2\mathrm{d}x_2)^2}{R^2-x_1^2-x_2^2} =\frac{r^2\mathrm{d}r^2}{R^2-r^2}\Longrightarrow \mathrm{d}l^2 =\frac{R^2\mathrm{d}r^2}{R^2-r^2}+r^2\mathrm{d}\theta^2$$