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## 2024-11-27

### Schrodinger 方程

到此为止 Feynman 的思路就已经停止，之后是一些专题内容.

其实我们已经发现，只要知道经典力学中的 Hamiltonian，就能够写出量子力学的 Schrodinger 方程. 这是很有意思的故事，可以仔细想想为什么 Lagrange 和 Hamilton 这些数学家要发展出一套和 Newton 力学完全等价的表述系统.

::: note -

只要你做的事情足够有趣，它就会在某一天产生新的物理.
——四字

:::

经典力学中，$H=H(q,p)$的广义坐标的 Poisson 括号${q\_i,p\_j}\propto\delta\_{ij}$，在量子力学中我们做的事情类似，只是将 Poisson 括号换成 Dirac 括号.

当然这是本质不同的，广义坐标生活在相空间中，维数是$2N$维（如果有$N$个自由度），但是态生活在态空间中，这里的维数不是确定的，可能有$\infty$维，所以我们做了一个映射，从相空间映射到态空间，这个映射保证了“括号”的形式不变，这就是所谓的“正则量子化”.

这件事情非常奇怪，有时我们甚至会怀疑到底什么是量子化. 一个判断标准是，当我们取$\hbar\to0$的经典极限的时候，某一个正确的量子理论应该得到经典的结果. 一个经典系统可能会对应很多不同的量子理论，我们能通过实验的方式去确定到底什么是正确的.

现在我们来看看一个单粒子的 Schrodinger 方程：
$$
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(t,x)=\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)]\psi(t,x)
$$
我们之前说过束缚态的能量是分立的，但是没有说过原因，现在我们就来分析这个问题.（推荐大家使用 Mathematica 自己画一画这个东西，对理解有帮助）

什么是“定态”？定态指的是能量确定的一个态，此时可以实现变量分离$\psi(t,x)=\tilde\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$，其中$\tilde\psi(x)$是“定态波函数”.

::: note -

你会发现，偏微分方程和常微分方程的难度不是一个量级的；所以当你发现你能够将一个偏微分方程化成常微分方程的时候，千万不要犹豫.
——四字

:::

定态 Schrodinger 方程是
$$
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)-E]\tilde\psi(x)=0
$$
这是二阶常微分方程，可以用两个线性无关特解的线性叠加得到通解. 假设$\tilde\psi(x)=c\_1\psi\_1(x)+c\_2\psi\_2(x)$，我们要找到的是$E<0$的解（束缚态）.

为了方便，我们假设$V(x)$在无穷远处趋于$0$. 当然如果你使用 Mathematica 的话，可以随便写一个满足这样条件的势能，然后数值求解，这是简单的；不过我们现在只能在$x\to\pm\infty$的条件下求一个渐近的解，这时$V\sim0$.

$\tilde\psi(x)\sim e^{\pm\kappa x}$，其中$\kappa=\sqrt{2m|E|}$，

> 等等，为什么两个独立的解长这样？这是 WKB 近似啊！

1. 当$x\to-\infty$，两个解一个趋于指数增长的，一个趋于指数衰减的，我们不妨假设$\psi\_1(x)\to e^{\kappa x}$，$\psi\_2(x)\to e^{-\kappa x}$，那我们选择挑选指数增长的解，避免了这个位置的发散. 现在$\tilde\psi(x)=c\_1\psi\_1(x)$.
2. 当$x\to+\infty$，我们已经失去了“选择”的权力，解还是$c\_1\psi\_1(x)$，但是我们不知道$x\to+\infty$时$\psi\_1$的行为，一般情况下应该是$\psi\_1(x)\overset{x\to+\infty}{\longrightarrow}d\_1e^{\kappa x}+d\_2e^{-\kappa x}$. 为了不发散，我们只能让$d\_1$严格等于$0$；但是$d\_1$由方程给出，方程的参数我们无法变动，唯一可以变化的是$E$——所以要找到一个合适的$d\_1(E)$使得在这个点处波函数不发散.

可以确定的是，$d\_1(E)$这个函数不可能恒为$0$，它的零点是分散的——这就是束缚态能量分立的原因，这是一种简单的解释.

现在可以想一想，如果我们刚刚找到的束缚态不是真实的呢？假设这个势能$V(x)$不止在一个地方有“坑”，而是在我们研究的位置的远处还有一个“坑”，那么系统真实的本征态是在不同的坑中的束缚态的线性叠加，我们的解是近似的——有可能隧穿到另一个“坑”里面去.

所以我们的宇宙是不是处于一个稳定态？有没有可能隧穿到另外一个“势能的坑”里面去？这是一个重要的问题. Higgs 场给出的势能在$246\text{GeV}$处有一个“坑”，但是我们不知道更加远的地方能不能找到一个新的能量最低点（现在的实验最高只能给出$\text{TeV}$量级的能量，所以从实验上观测是艰难的）. 有没有这个最低点强相关于顶夸克（t）的质量，但是我们测不准，现在的值一般认为是$171\sim173\text{GeV}$. 这是指数依赖，如果取$171$，那么势能将只有这一个位置有最低点；但是如果是$173$，就可能在远处出现一个甚至小于零的更低点.

这是我们至今没有研究清楚的问题：我们生活在一个“刀尖”上，但是稳定地待在这个“刀尖”上.

### Chapter 17 对称性和守恒律

现在差不多到了科普的部分. 对称性指的是“某种变换下的不变性”，物理学中最重要的就是刻画一种动力学上的对称性（而不是几何上的对称性！）.

现在考虑一个所谓的镜像变换（也叫 parity 变换，宇称变换），在量子力学中我们所做的所有变换都用算符来描述，所以镜像变换能够被表示为某个算符$P$，对基础态的作用是（我们知道对基础态的作用就行了，因为所有量子力学算符都是线性算符）
$$
P\ket{1}=\ket{2},\quad P\ket{2}=\ket{1}
$$
问题：能不能相差某一个任意相位使得$P\ket{1}=e^{i\phi\_1}\ket{2}$，$P\ket{2}=e^{i\phi\_2}\ket{1}$？

> 大家的回答：首先可以通过平移的方式使得只差一个相位（只有一个自由度）（这部分答案来源于一个学长），然后再注意到两次变换回到原来的结果，所以得到这个相位是$0$（这部分答案来源于我）.

考虑做 parity 变换之后的一个初态：
$$
\begin{aligned}
&\ket{A(t\_0)}=c\_1\ket{1}+c\_2\ket{2}\overset{t\_0\to t}{\longrightarrow}&\ket{A(t)}\\
&\downarrow&\downarrow\\
&\ket{B(t\_0)}=c\_1\ket{2}+c\_2\ket{1}\longrightarrow&\ket{B(t)}=P\ket{A(t)}
\end{aligned}
$$
这个变换在时间演化下不变，也就是$P$和 Hamiltonian 对易：$PH=HP$. 如果我们把这个作为对称性的定义，那么会出现一些很恐怖的事情——当 Hamiltonian 对角化，我们可以找到无穷多个“对称变换”.

这一定是哪里出了问题. 引入“观测量的不变性”$|\braket{\chi|\psi}|^2=|\braket{\chi|U^\dagger U|\psi}|^2$.

有一种更强的条件，是$\braket{\chi|\psi}=\braket{\chi|U^\dagger U|\psi}$，这一定能够得到上面那个条件，反过来不一定对——不过根据 Wigner 定理，反过来几乎是对的.

Wigner 定理：对称变换$U$一定是是幺正的（$UU^\dagger=1$），除了时间反演（它是反幺正和反线性的[^1]）

这导致最后对称变换只能是这样的形式：
$$
P=\begin{pmatrix}
e^{i\varphi\_1}&0\0\&e^{i\varphi\_2}
\end{pmatrix}
$$
现在我们对对称性有两种刻画：一种是与 Hamiltonian 对易，一种是幺正. 举一个简单的例子，Galileo 变换和 Lorentz 变换，它们和 Hamiltonian 不对易（如果对易，那么定态的能量应该在变换下不变），但是显然是对称变换.

实际上“对称性”这个词已经被滥用，在不同语境下有不同的意义，但是一个必备的能力是通过上下文看出这里的对称性是何种定义，上面两种定义就是比较常用的两种定义，当然还有其他的定义.

### 宇称（parity）

这是一个分立的变换——[你不能将左手连续地变到右手](#2)，但是照一次镜子就会实现这个变换.
$$
\ket{\pm}=\frac{\ket{1}\pm\ket{2}}{\sqrt2}
$$
一般称$+$为“偶宇称”，$-$为“奇宇称”，$P\ket{\pm}=\pm\ket{\pm}$，也就是$P=\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}$.

在一般态空间中，$P$满足$P^2=1$. 不简并的定态一定有确定的宇称. 宇称变换作用在$\ket{E}$这个不简并的定态上，我们考虑其能量的变化：$H(P\ket{E})=PH\ket{E}=PE\ket{E}=E(P\ket{E})$. 原则上来说能量是$E$的态有很多，但是因为不简并所以只有这一个态，那么我么就证明了上面说过的话.

如果不简并，那么我们会得到一个线性组合：$P\ket{E}\_1=c\_1\ket{E}\_1+c\_2\ket{E}\_2$，可以继续对$P$对角化，这时候这个定态就不具有一个确定的宇称了.

我们刚刚一直在说“照镜子”，到底该如何在数学上刻画这件事情？当我们放下一面镜子，整个空间将要失去两个旋转对称，照镜子的变换写作$(x^1,x^2,x^3)\to(x^1,x^2,-x^3)$. 为了刻画左手和右手，我们使用矢量的顺序来判定. 引入 Einstein 求和约定和 Levi-Civita 符号，如果$\varepsilon\_{ijk}\hat{x}^i\hat{x}^j\hat{x}^k=+1$则为右手系，$\varepsilon\_{ijk}\hat{x}^i\hat{x}^j\hat{x}^k=-1$则为左手系. 这一种量称为“赝标量（pseudo-scalar）”，宇称变换就是使得赝标量变号的变换.

***

下课之后的讨论：

1. 上课讨论“左手能不能连续变到右手”这一问题，有同学提出，升高一个维度是否可以实现这件事？

   > 想一想，这是一个幻觉. 如果我们把下面这种东西作为宇称变换：
   > $$
   > P=\begin{pmatrix}
   > -1&&&\\&-1&&\\&&\ddots&\\&&&-1
   > \end{pmatrix}
   > $$
   > 那么简单升高一个维度（到偶数维），这个就变成某一种旋转变换——这是连续的，但同时这不能被作为一个宇称变换.
   >
   > 所以真正好的一个宇称变换的写法是一个对角阵，对角线上只有一个分量是$-1$，其他分量都是$1$，这是可以升维度的，升高维度还是宇称变换，而且是分立的变换.

2. 到底什么样的变换才能叫作宇称变换？

   > 只要能使得赝标量变号，这就是一个宇称变换.

[^1]: 这两个概念在任何一本量子力学书中都能找到，按下不表.