Feynman 物理学讲义 - Vol.III 札记 2

本文最后更新于 2024年11月7日 中午

2024-11-06 四种基本相互作用

我们希望借着这个题目讲明白每一种基本力带来的“新的物理”.

先从“交换力”这一概念开始思考:考虑氢分子离子,有几点重要信息:

  1. A1re2mEr/A\propto\frac{1}{r}e^{-\sqrt{2mE}r/\hbar}
  2. 能级分裂,分裂的大小是2A2A
  3. 这个随rr变化的势能会对质子的位置产生反作用,成为一个吸引力.

Feynman 在讲完H2+\text{H}_2^+这个例子之后,开始讲一个类似的例子——核力(Yukawa Potential). 这也是一种交换力,交换的粒子是“π\pi介子”(pion)

接下来是科普环节:质子(proton)mp938MeVm_p\sim938\text{MeV},中子(neutron)mn940MeVm_n\sim940\text{MeV},电子(electron)me0.5MeVm_e\sim0.5\text{MeV}.

π\pi介子有三种,两种带电,一种不带电,π±\pi^{\pm}介子m±140MeVm_{\pm}\sim140\text{MeV},衰变时间大约是108s10^{-8}\text{s}π0\pi^0介子m0135MeVm_0\sim135\text{MeV},衰变时间则是1016s10^{-16}\text{s}.

这两种衰变时间的差异来自于控制它们衰变的作用不同——带电的π\pi介子通过弱相互作用衰变,而不带电的通过电磁相互作用衰变.

考虑π\pi介子在质子和中子之间的交换,假设能量和动量守恒,会有:

EπEpEnmpmnmπE_\pi\sim|E_p-E_n|\sim|m_p-m_n|\ll m_\pi

这很奇怪,我们希望到这个课程的最后一节课我们能解释清楚这件事情. (虚动量?)

在不放弃质壳关系的情况下,这里的π\pi介子的动量必须是虚数,我们得到了一个很像氢分子离子的相互作用势:

V(r)1remπr/V(r)\sim\frac{1}{r}e^{-m_\pi r/\hbar}

这就是所谓的 Yukawa Potential. 这是一个短程力,在自然单位制的意义上,它符合rm1r\gg m^{-1}时,V0V\to0. 而rm1r\ll m^{-1}VV\to Coulomb 势,这暗示我们可以把其他相互作用也写成交换力.

简单的估算练习:这个力的力程?1μm1eV11\mu\text{m}\sim1\text{eV}^{-1},所以大概是102661014m10^{-2-6-6}\approx10^{14}\text{m},原子核尺度.

接下来我们想想电磁力:电磁力通过交换光子实现.

但是场量不代表光子数——我们只能确定某点处的场,但是没办法知道那里有多少光子. 在一个快速的散射过程中,两个粒子在某一瞬间靠得很近,这个时候光子在其间的隧穿才有概率发生. 我们可以在这个情况下使用所谓的 Born 近似(要和 Born - Oppenheimer 近似区分,Born 的名字被用来命名很多近似,这是没办法的事),也就是考虑单粒子的交换.

对于一个氢原子,这是一个束缚态,我们认为电子和质子之间在不停地交换一个光子,还是能使用近似,这样会得到一个 ladder 势.

但是我们不能用这个方法计算引力引起的水星进动. 引力子是一种质量为00,自旋22的粒子. 引力平等地作用在任何具有能量的物体上,所以等效原理告诉我们引力子也会发射引力子,这个效应必须被考虑.

对于强相互作用,交换的粒子叫做胶子,它m=0m=0s=1s=1,它与电磁相互作用唯一的区别是它也像引力子一样是自己的源,这产生了所有的区别,因为这产生了一个非线性的理论——如果光子也带电,我们会失去所有的视觉,因为光连直线传播都无法做到. 强相互作用作用在所有具有“色荷”(colour)的粒子上,而它自己同时带两种颜色. 夸克(u, d, c, s, t, b)带色荷,它们之间能够交换胶子.

当我们做一些计算之后,会得到在高能量下,这表现为一个谐振子势,这种束缚态就像有一根“弦”连接着两个 quark,这就是弦理论的开始.

由于这是一个相对论性的系统,在旋转的过程中,体系的轨道角动量表征了 quark 复合粒子的自旋角动量,这和体系中间的质量有关——自旋和质量有关.

当我增加两个 quark 的距离时,弦被扯断了,但是系统能量增加,会从虚空中凭空产生两个新的 quark,这就是“色禁闭”:我们永远无法观测到具有非零色荷的粒子,色荷永远被屏蔽在体系中.

在后来的研究中,我们发现弦理论不是正确描述强相互作用的理论,而 QCD (Quantum Chromodynamics)是好的. 在高能情况下,交换单粒子这样一种近似又变得好起来了,这被称为“渐近自由”.

问题:交换粒子动量守恒吗?那如何解释吸引力呢?

首先,每一个时刻动量守不守恒不能确定;剩下的问题待会再说!

花一点时间讲讲弱相互作用:荷力粒子是W±W^\pmZ0Z^0,它们自旋为11W±W^\pm质量是80GeV80\text{GeV}Z0Z^0质量是91GeV91\text{GeV}.

为什么这两种自旋11的的粒子会有质量?这是一件很不平凡的事情. 我们想想超导这件事情,在超导体这种相中,光子质量不是零(London 方程其实就是在 Maxwell 方程中加上一个光子不为零的项). 那宇宙也是一样,在早期的高能宇宙中,弱-电相互作用是完全统一的,但是在宇宙的降温过程中,发生了相变——电弱对称性破缺,这导致两者变得非常不同.

相位生活在一个幺正矩阵里,就是幺正群U(1)U(1);所以电弱对称的群是U(1)SU(2)U(1)\otimes SU(2),而强相互作用的群是SU(3)SU(3). 电弱对称统一理论的群相当于取SU(2)SU(2)中的一个分量与U(1)U(1)群作用产生的一个群.

但是万有引力的荷力粒子自旋为22,这意味着它的对称性质是唯一的,只对应一种几何理论——广义相对论,这就是统一理论的困难.

接下来我们回答刚刚提到的问题:交换力是吸引力?

Coulomb 力的排斥实际上是一种相对论效应,两个电子应该被视为时空中的四维流jμj^\muμ=0,1,2,3\mu=0,1,2,3. 而 Hamiltonian 应该 Lorentz 不变,所以其中只含有jj的内积,j1μj2μ=ρ1ρ2+j1j2j^\mu_1j_{2\mu}=-\rho_1\rho_2+\vec{j}_1\cdot\vec{j}_2,Hamiltonian 的符号决定作用的正负,这里能看到电荷之间的作用和电流之间的作用是相反的.

现在只有两种选择:同向电流相吸,同种电荷相斥;或者反之. 但是因为光子在实际上只有两种偏振,其四矢量Aμ=(A1,A2,A3,A4)A_\mu=(A_1,A_2,A_3,A_4)只有A1A_1A3A_3有真实的意义. 在这样的相对论约束下,光子不再是原来的光子,而是一种“虚光子”,为了保证这一点,我们会选择前者(同向电流相吸,同种电荷相斥).

现在我们来想想万有引力为什么是引力:引力子的自旋是22,反号两次,最后一定会得到吸引力.

好了,听到这里我已经不知道在干什么了.


课后问了很多问题,我用自己的语言记录在这里:

我们自然地引入引力子的作用. 回想我们在电磁相互作用做过的事情,我们发现光子是一种自旋为11的粒子,那么我们要描述它就需要一个矢量AiA^i. 之后为了满足相对论协变性的要求,我们使用一个4-矢量AμA^\mu来描述光子——这就是电磁相互作用的描述方法.

任何物质之间的相互作用导致的 Hamiltonian 被描述为能动张量之间的内积. 在电磁相互作用中,这种作用能被描述为AμTμνA^\mu T_{\mu\nu};同时,在实际的物理世界,光子只有两个偏振方向,

这里插入一个结论:任何质量为00、自旋不为00的粒子,都只有两个偏振态,比如光子和引力子.

所以AμA^\mu的空间分量只有A1A^1A2A^2不是零,这导致 Hamiltonian 出现上面提到过的形式,也就是ρ1ρ2+j1j2-\rho_1\rho_2+\vec{j}_1\cdot\vec{j}_2.

之后考虑引力. 这里引力子的自旋是22,导致我们无法用一个矢量来描述引力子,而必须使用一个并矢,也就是hμνh^{\mu\nu}. 在这种情况下,作用被描述为hμνTμνh^{\mu\nu}T_{\mu\nu},因为还是只有两个偏振方向,hμνh^{\mu\nu}将只作用在TμνT_{\mu\nu}的右下角部分:

Tμν=(time-timetime-spacespace-timespace-space)T_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} \text{time-time}&\text{time-space}\\ \text{space-time}&\text{space-space} \end{pmatrix}

其中 time-time 部分代表质量,time-space 部分代表质量流(另一个对称),space-space 部分代表动量流. hμνh^{\mu\nu}作用在 space-space 部分表明,这里产生的 Hamiltonian 是正的,同向的动量流相互吸引;向上向左移动均变号,表明同向质量流相互排斥(这正是最神奇的一点!);左上角也为正,证明正质量相互吸引.

上面的内容其实我还有很多不懂的地方,后续还需要慢慢思考.


Feynman 物理学讲义 - Vol.III 札记 2
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作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年11月6日
更新于
2024年11月7日
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