Feynman 物理学讲义 - Vol.III 札记 2

本文最后更新于 2024年11月7日中午

2024-11-06 四种基本相互作用

我们希望借着这个题目讲明白每一种基本力带来的“新的物理”.

先从“交换力”这一概念开始思考：考虑氢分子离子，有几点重要信息：

$A\propto\frac{1}{r}e^{-\sqrt{2mE}r/\hbar}$ ；
能级分裂，分裂的大小是 $2A$ ；
这个随 $r$ 变化的势能会对质子的位置产生反作用，成为一个吸引力.

Feynman 在讲完 $\text{H}_2^+$ 这个例子之后，开始讲一个类似的例子——核力（Yukawa Potential）. 这也是一种交换力，交换的粒子是“ $\pi$ 介子”（pion）

接下来是科普环节：质子（proton） $m_p\sim938\text{MeV}$ ，中子（neutron） $m_n\sim940\text{MeV}$ ，电子（electron） $m_e\sim0.5\text{MeV}$ .

$\pi$ 介子有三种，两种带电，一种不带电， $\pi^{\pm}$ 介子 $m_{\pm}\sim140\text{MeV}$ ，衰变时间大约是 $10^{-8}\text{s}$ ； $\pi^0$ 介子 $m_0\sim135\text{MeV}$ ，衰变时间则是 $10^{-16}\text{s}$ .

这两种衰变时间的差异来自于控制它们衰变的作用不同——带电的 $\pi$ 介子通过弱相互作用衰变，而不带电的通过电磁相互作用衰变.

考虑 $\pi$ 介子在质子和中子之间的交换，假设能量和动量守恒，会有：

E_\pi\sim|E_p-E_n|\sim|m_p-m_n|\ll m_\pi

这很奇怪，我们希望到这个课程的最后一节课我们能解释清楚这件事情. （虚动量？）

在不放弃质壳关系的情况下，这里的 $\pi$ 介子的动量必须是虚数，我们得到了一个很像氢分子离子的相互作用势：

V(r)\sim\frac{1}{r}e^{-m_\pi r/\hbar}

这就是所谓的 Yukawa Potential. 这是一个短程力，在自然单位制的意义上，它符合 $r\gg m^{-1}$ 时， $V\to0$ . 而 $r\ll m^{-1}$ 时 $V\to$ Coulomb 势，这暗示我们可以把其他相互作用也写成交换力.

简单的估算练习：这个力的力程？ $1\mu\text{m}\sim1\text{eV}^{-1}$ ，所以大概是 $10^{-2-6-6}\approx10^{14}\text{m}$ ，原子核尺度.

接下来我们想想电磁力：电磁力通过交换光子实现.

但是场量不代表光子数——我们只能确定某点处的场，但是没办法知道那里有多少光子. 在一个快速的散射过程中，两个粒子在某一瞬间靠得很近，这个时候光子在其间的隧穿才有概率发生. 我们可以在这个情况下使用所谓的 Born 近似（要和 Born - Oppenheimer 近似区分，Born 的名字被用来命名很多近似，这是没办法的事），也就是考虑单粒子的交换.

对于一个氢原子，这是一个束缚态，我们认为电子和质子之间在不停地交换一个光子，还是能使用近似，这样会得到一个 ladder 势.

但是我们不能用这个方法计算引力引起的水星进动. 引力子是一种质量为 $0$ ，自旋 $2$ 的粒子. 引力平等地作用在任何具有能量的物体上，所以等效原理告诉我们引力子也会发射引力子，这个效应必须被考虑.

对于强相互作用，交换的粒子叫做胶子，它 $m=0$ ， $s=1$ ，它与电磁相互作用唯一的区别是它也像引力子一样是自己的源，这产生了所有的区别，因为这产生了一个非线性的理论——如果光子也带电，我们会失去所有的视觉，因为光连直线传播都无法做到. 强相互作用作用在所有具有“色荷”（colour）的粒子上，而它自己同时带两种颜色. 夸克（u, d, c, s, t, b）带色荷，它们之间能够交换胶子.

当我们做一些计算之后，会得到在高能量下，这表现为一个谐振子势，这种束缚态就像有一根“弦”连接着两个 quark，这就是弦理论的开始.

由于这是一个相对论性的系统，在旋转的过程中，体系的轨道角动量表征了 quark 复合粒子的自旋角动量，这和体系中间的质量有关——自旋和质量有关.

当我增加两个 quark 的距离时，弦被扯断了，但是系统能量增加，会从虚空中凭空产生两个新的 quark，这就是“色禁闭”：我们永远无法观测到具有非零色荷的粒子，色荷永远被屏蔽在体系中.

在后来的研究中，我们发现弦理论不是正确描述强相互作用的理论，而 QCD （Quantum Chromodynamics）是好的. 在高能情况下，交换单粒子这样一种近似又变得好起来了，这被称为“渐近自由”.

问题：交换粒子动量守恒吗？那如何解释吸引力呢？

首先，每一个时刻动量守不守恒不能确定；剩下的问题待会再说！

花一点时间讲讲弱相互作用：荷力粒子是 $W^\pm$ 和 $Z^0$ ，它们自旋为 $1$ ， $W^\pm$ 质量是 $80\text{GeV}$ ， $Z^0$ 质量是 $91\text{GeV}$ .

为什么这两种自旋 $1$ 的的粒子会有质量？这是一件很不平凡的事情. 我们想想超导这件事情，在超导体这种相中，光子质量不是零（London 方程其实就是在 Maxwell 方程中加上一个光子不为零的项）. 那宇宙也是一样，在早期的高能宇宙中，弱-电相互作用是完全统一的，但是在宇宙的降温过程中，发生了相变——电弱对称性破缺，这导致两者变得非常不同.

相位生活在一个幺正矩阵里，就是幺正群 $U(1)$ ；所以电弱对称的群是 $U(1)\otimes SU(2)$ ，而强相互作用的群是 $SU(3)$ . 电弱对称统一理论的群相当于取 $SU(2)$ 中的一个分量与 $U(1)$ 群作用产生的一个群.

但是万有引力的荷力粒子自旋为 $2$ ，这意味着它的对称性质是唯一的，只对应一种几何理论——广义相对论，这就是统一理论的困难.

接下来我们回答刚刚提到的问题：交换力是吸引力？

Coulomb 力的排斥实际上是一种相对论效应，两个电子应该被视为时空中的四维流 $j^\mu$ ， $\mu=0,1,2,3$ . 而 Hamiltonian 应该 Lorentz 不变，所以其中只含有 $j$ 的内积， $j^\mu_1j_{2\mu}=-\rho_1\rho_2+\vec{j}_1\cdot\vec{j}_2$ ，Hamiltonian 的符号决定作用的正负，这里能看到电荷之间的作用和电流之间的作用是相反的.
现在只有两种选择：同向电流相吸，同种电荷相斥；或者反之. 但是因为光子在实际上只有两种偏振，其四矢量 $A_\mu=(A_1,A_2,A_3,A_4)$ 只有 $A_1$ 和 $A_3$ 有真实的意义. 在这样的相对论约束下，光子不再是原来的光子，而是一种“虚光子”，为了保证这一点，我们会选择前者（同向电流相吸，同种电荷相斥）.
现在我们来想想万有引力为什么是引力：引力子的自旋是 $2$ ，反号两次，最后一定会得到吸引力.

~~好了，听到这里我已经不知道在干什么了.~~

课后问了很多问题，我用自己的语言记录在这里：

我们自然地引入引力子的作用. 回想我们在电磁相互作用做过的事情，我们发现光子是一种自旋为 $1$ 的粒子，那么我们要描述它就需要一个矢量 $A^i$ . 之后为了满足相对论协变性的要求，我们使用一个4-矢量 $A^\mu$ 来描述光子——这就是电磁相互作用的描述方法.

任何物质之间的相互作用导致的 Hamiltonian 被描述为能动张量之间的内积. 在电磁相互作用中，这种作用能被描述为 $A^\mu T_{\mu\nu}$ ；同时，在实际的物理世界，光子只有两个偏振方向，

这里插入一个结论：任何质量为 $0$ 、自旋不为 $0$ 的粒子，都只有两个偏振态，比如光子和引力子.

所以 $A^\mu$ 的空间分量只有 $A^1$ 和 $A^2$ 不是零，这导致 Hamiltonian 出现上面提到过的形式，也就是 $-\rho_1\rho_2+\vec{j}_1\cdot\vec{j}_2$ .

之后考虑引力. 这里引力子的自旋是 $2$ ，导致我们无法用一个矢量来描述引力子，而必须使用一个并矢，也就是 $h^{\mu\nu}$ . 在这种情况下，作用被描述为 $h^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ ，因为还是只有两个偏振方向， $h^{\mu\nu}$ 将只作用在 $T_{\mu\nu}$ 的右下角部分：

T_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} \text{time-time}&\text{time-space}\\ \text{space-time}&\text{space-space} \end{pmatrix}

其中 time-time 部分代表质量，time-space 部分代表质量流（另一个对称），space-space 部分代表动量流. $h^{\mu\nu}$ 作用在 space-space 部分表明，这里产生的 Hamiltonian 是正的，同向的动量流相互吸引；向上向左移动均变号，表明同向质量流相互排斥（这正是最神奇的一点！）；左上角也为正，证明正质量相互吸引.