高等微积分笔记 Lesson 10

高等微积分 Lesson 10

连续性

ffx0x_0处连续 \Longleftrightarrow limxx0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)

\Longleftrightarrow ε>0\forall\varepsilon>0δ>0\exist\delta>0xx0<δ\forall|x-x_0|<\delta,使得f(x)f(x0)<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

/Claim/ (用序列极限刻画连续性)

ffx0x_0处连续 \Longleftrightarrowlimnxn=x0\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=x_0,则limnf(xn)=f(x0)\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=f(x_0).

/Proof/

先证明“\Longrightarrow”:设ffx0x_0处连续,设limnxn=x0\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=x_0DD为定义域,则有复合极限

Z+hDfR\Z_+\overset{h}{\longrightarrow}D\overset{f}{\longrightarrow}\R

limnh(n)=x0\underset{n\to\infty}{\lim}h(n)=x_0limxx0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)且修正2成立,由复合极限定理得到命题成立.

再证明“\Longleftarrow”:设右侧的命题P成立,求证limxx0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0). 为此,考虑 Heine Theorem ,其中说“limxx0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0) \Longleftrightarrow {ynx0}\forall\{y_n\neq x_0\}limnyn=x0\underset{n\to\infty}{\lim}y_n=x_0的序列有limnf(yn)=f(x0)\underset{n\to\infty}{\lim}f(y_n)=f(x_0)

上面的定理右侧恰好是命题P的特例,当然成立,由此证明了limxx0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0).

证毕.

下面就得到一个推论:连续函数与序列极限可交换. 也就是说,设ff是连续函数,则limnf(xn)=f(limnxn)\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_n)=f(\underset{n\to\infty}{\lim}x_n),当然前提是limnxn\underset{n\to\infty}{\lim}x_n存在.

上面推论的证明实际上就是命题的“\Longrightarrow”部分.


回忆压缩映像定理,最后一段证明实际上使用这里的这个推论.

(X,d)(X,d)是完备度量空间,T:XXT:X\to X压缩,要求:

  1. TT连续:验证TTx0x_0处的连续性(用εδ\varepsilon-\delta语言)

    ε>0\forall\varepsilon>0,取δ=ε/c\delta=\varepsilon/c,从而d(x,x0)<δ\forall d(x,x_0)<\delta,有

    d(Tx,Tx0)cd(x,x0)<cδ=εd(Tx,Tx_0)\leq cd(x,x_0)<c\delta=\varepsilon

    (压缩映射是连续的)

  2. 任取x0Xx_0\in X,定义xn=T(n)(x0)x_n=T^{(n)}(x_0),先验证{xn}\{x_n\}是Cauchy列,再由XX是完备度量空间,证明limnxn=z\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=z(存在).

    在学习完上面的推论之后,我们就可以这样进行最后一步证明:由TT连续,得到

    T(z)=T(limxnn)=exchangelimnT(xn)=limnxn+1=zT(z)=T(\underset{n\to\infty}{\lim x_n})\overset{\text{exchange}}{=}\underset{n\to\infty}{\lim}T(x_n)=\underset{n\to\infty}{\lim} x_{n+1}=z

    证毕.


我们还要继续讨论不连续能“坏”到什么程度.

/Definition/

x0x_0ff的连续点 \Longleftrightarrow ffx0x_0处连续;
x0x_0ff的间断点 \Longleftrightarrow ffx0x_0处不连续.

间断点有两种可能的情形:

  1. 存在limxx0f(x)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x),但是不等于f(x0)f(x_0).
  2. limxx0f(x)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)不存在.

对于第1类间断点,可以修改fff~\tilde{f},要求

f~(x)={f(x),xx0limxx0f(x)=L,x=x0\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lr} f(x)\,,\quad\forall x\neq x_0\\\\ \underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=L\,,\quad x=x_0 \end{array}\right.

f~\tilde fx0x_0处连续,所以我们可以称第1类间断点为“可去间断点”.

对于第2类间断点,我们叫做“本质间断点”(essential).

以后经常要通过修改ff的方式去掉第1类间断点.

下面还要做一些术语上的约定:

  1. 在有一些比较老的教材上,会称定义域DD之外的点x0x_0ff的间断点,也就是说只要limxx0f(x)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)不存在,就称x0x_0为间断点.
  2. 我们的课上讨论的连续点和间断点坚持x0Dx_0\in D.

连续函数的局部性质

/Theorem/ (四则运算保持连续)

四则运算几乎会保持连续性. 这个“几乎”来自于除法的一些分母不为零的要求.

ffggx0x_0处连续,则

  1. f±gf\pm gx0x_0处连续.

  2. fgfgx0x_0处连续.

    注记:注意记号的差别,fgf\circ g是复合,(fg)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x)),而函数乘法写作fgfg或者fgf\cdot g,相当于逐点做乘法,(fg)(x)=f(x)g(x)(fg)(x)=f(x)\cdot g(x).

  3. g(x0)0g(x_0)\neq 0,则f/gf/gx0x_0处连续.

/Proof/

仅仅对3.进行证明. 由于

limxx0fg=limxx0f(x)limxx0g(x)=f(x0)g(x0)=fg(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}\frac{f}{g}=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim}g(x)}=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}=\frac{f}{g}(x_0)

证毕.

推论:设f,gC(D,R)f,g\in C(D,\R),则有f±gf\pm gfgC(D,R)f\cdot g\in C(D,\R),记V={xDg(x)=0}V=\{x\in D|g(x)=0\}gg的零点集,则有f/gC(DV,R)f/g\in C(D-V,\R). 这是显然的.

/Theorem/

复合保持连续性,连续映射的复合仍然连续.

回顾:对逐点连续性的定义较为狭隘,我们应该如何使这个定义适用于一般的DD

(比如在DD边缘上的一点,其开球邻域会有一部分落在DD之外)

/Definition/

对一般的定义域DD,称f:DRf:D\to\Rx0x_0处连续,若ε>0\forall\varepsilon>0δ>0\exist\delta>0,使得f[Bδ(x0)D]Bε(f(x0))f[B_\delta(x_0)\cap D]\subseteq B_\varepsilon(f(x_0)).

ffDD上的连续映射(记为fC(D,R)=C(D)f\in C(D,\R)=C(D)),如果ffDD上每点处连续.

/Theorem/

f:DEf:D\to Ex0x_0处连续,

也就是说,ffx0x_0处不“撕开”.

g:EFg:E\to Ff(x0)f(x_0)处连续,

也就是说,ggf(x0)f(x_0)处不“撕开”.

gf:DFg\circ f:D\to Fx0x_0处连续.

也就是说,gfg\circ fx0x_0处不“撕开”.

/Proof/

ggf(x0)f(x_0)处连续知,ε>0\forall\varepsilon>0δ1>0\exist\delta_1>0使得g[Bδ1(f(x0))E]Bε((gf)(x0))g[B_{\delta_1}(f(x_0))\cap E]\subseteq B_\varepsilon((g\circ f)(x_0)).

ffx0x_0处连续定义知对于上述δ1>0\delta_1>0δ>0\exist\delta>0使得f[Bδ(x0)D]Bδ1(f(x0))f[B_\delta(x_0)\cap D]\subseteq B_{\delta_1}(f(x_0)).

ff像点取值在EE中,有f[Bδ(x0)D]Bδ1(f(x0))Ef[B_\delta(x_0)\cap D]\subseteq B_{\delta_1}(f(x_0))\cap E.

把上面几句话“接”在一起即得证.

证毕.

推论:连续映射的复合是连续的.

由这两个局部性质,可建立一般初等函数的连续性.

/Example/

有理函数f(x)=P(x)/Q(x)f(x)=P(x)/Q(x)P(x)P(x)Q(x)Q(x)为多项式)在分母零点外连续.

/Proof/

  1. IdR\text{Id}_\R连续(恒同映射连续),可以用εδ\varepsilon-\delta语言证明;

  2. IdRn=xn\text{Id}_\R^n=x^nnZ0n\in\Z_{\geq0})连续(来自nnIdR\text{Id}_\R之积);

  3. 多项式P(x)=ni=0aixiP(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}a_ix^i连续(是nn个单项式之和);

  4. P(x)/Q(x)P(x)/Q(x)在分母零点外连续.

证毕.

从这里我们越来越意识到,之后的定理和内容,都是在把所学过的定理和命题“连接”起来,形成最后的证明,这是一个基本的思路.

/Example/

u(x)u(x)连续且为正,v(x)v(x)连续. 求证u(x)v(x)u(x)^{v(x)}连续.

/Proof/

方法1:

对于x0\forall x_0,有

limxx0u(x)v(x)=claim proved in the last class(limxx0u(x))limxx0v(x)=u(x0)v(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}u(x)^{v(x)}\overset{\text{claim proved in the last class}}{=}(\underset{x\to x_0}{\lim}u(x))^{\underset{x\to x_0}{\lim}v(x)}=u(x_0)^{v(x_0)}

得证.

方法2:

u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}

u(x)u(x)连续,复合ln()\ln(\cdot) \Longrightarrow lnu(x)\ln u(x)连续 \Longrightarrow v(x)lnu(x)v(x)\ln u(x)连续,之后再复合一次.

得证.

证毕.

连续函数的整体性质

  • 介值定理——连通性
  • 有界性定理——紧致性
  • 最值定理——紧致性

这些性质在100年前左右被提炼出来,形成topology.

为方便证明,对R\R完备性再给出等价的叙述.

/Theorem/ (区间套原理)

设有闭区间下降链:[a1,b1][a2,b2][a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq\cdots,且limn(bnan)=0\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0,则n=1[an,bn]\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}[a_n,b_n]是单点集{c}\{c\},且c=limnan=limnbnc=\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\underset{n\to\infty}{\lim}b_n.

/Proof/

由闭区间下降链的定义,有

a1a2anbnb2b1a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n\leq b_n\leq\cdots\leq b_2\leq b_1

由MCT就能证明limnan\underset{n\to\infty}{\lim}a_nlimnbn\underset{n\to\infty}{\lim}b_n存在,再由limn(bnan)=0\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0,得到两者极限为同一个值cc.

验证n=1[an,bn]={c}\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}[a_n,b_n]=\{c\}

  1. 一方面,对于固定的nn,有anama_n\leq a_mmn\forall m\geq n(由ana_n\uparrow). 再由极限不等式得到anlimnan=ca_n\leq\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=c;类似地,bnlimnbn=cb_n\geq\underset{n\to\infty}{\lim}b_n=c.

    这表明这个无穷交集非空,有{c}n=1[an,bn]\{c\}\subseteq\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}[a_n,b_n].

  2. 另一方面,来证明n=1[an,bn]\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}[a_n,b_n]. 考虑xn=1[an,bn]\forall x\in\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}[a_n,b_n],满足anxbna_n\leq x\leq b_nn\forall n,这就表明c=limnanxlimnbn=cc=\underset{n\to\infty}{\lim}a_n\leq x\leq\underset{n\to\infty}{\lim}b_n=c,也就是x=cx=c.

    这表明n=1[an,bn]{c}\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcap}}[a_n,b_n]\subseteq\{c\}.

证毕.

介值定理

/Theorem/

ff[a,b][a,b]上连续,且f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0(异号),则c(a,b)\exist c\in(a,b),使得f(c)=0f(c)=0.

/Proof/

反证法. 设ff(a,b)(a,b)上处处非零,不妨设f(a)<0<f(b)f(a)<0<f(b)(另外的情况可以考虑f-f),从而在闭区间[a,b][a,b]上,可以得到[a,a+b2][a,\frac{a+b}{2}]左负右正,或者[a+b2,b][\frac{a+b}{2},b]左负右正.

定义闭区间下降链[an,bn][a_n,b_n]满足f(an)<0<f(bn)f(a_n)<0<f(b_n),且bnan=(ba)/2n1b_n-a_n=(b-a)/2^{n-1},令[a1,b1]=[a,b][a_1,b_1]=[a,b].

下降的规则是:

  1. f(an+bn2)>0f(\frac{a_n+b_n}{2})>0,则令[an+1,bn+1]=[an,an+bn2][a_{n+1},b_{n+1}]=[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}]
  2. f(an+bn2)<0f(\frac{a_n+b_n}{2})<0,则令[an+1,bn+1]=[an+bn2,bn][a_{n+1},b_{n+1}]=[\frac{a_n+b_n}{2},b_n].

这个区间套最终会形成一个单点集{c}\{c\}f(c)=f(limnan)=limnf(an)<0f(c)=f(\underset{n\to\infty}{\lim}a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}f(a_n)<0,而且f(c)=f(limnbn)=limnf(bn)>0f(c)=f(\underset{n\to\infty}{\lim}b_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}f(b_n)>0,矛盾.

假设不成立,所以一定存在c(a,b)c\in(a,b)使得f(c)=0f(c)=0.

证毕.

能不能不使用区间套?考虑一个比较“绕”的证明方法,用到一些比较朴素的思想.

/Proof/

反证法. 设ff处处非零,不妨设f(a)<0<f(b)f(a)<0<f(b).

定义A={x[a,b]:f(x)<0}A=\{x\in[a,b]:f(x)<0\},由aAa\in A,且AA有上界bb,由确界定理得到AA有上确界supA=M\sup A=M.

在我们朴素的想法中,MM就是f(x)f(x)从负到正转变的点.

由定义,MaM\geq aMbM\leq b,所以M[a,b]fM\in[a,b]\subseteq f的定义域.

来考虑f(M)f(M),假设f(M)0f(M)\neq0(这是反证法的要求).

limxa+f(x)=f(a)<0\underset{x\to a+}{\lim}f(x)=f(a)<0,知δ>0\exist\delta>0使得ff[a,a+δ)[a,a+\delta)上处处负,所以[a,a+δ)A[a,a+\delta)\subseteq A,得到M=supA>aM=\sup A>a.

同理M=supAbδ<bM=\sup A\leq b-\delta'<b.

所以这个“转变点”(临界点)在中间,而不在端点.

而且f(M)=limxM+f(x)0f(M)=\underset{x\to M+}{\lim}f(x)\geq 0,又有f(M)0f(M)\neq 0得到f(M)>0f(M)>0,利用这一点,还有ff的连续性(使得limxM+f(x)=limxMf(x)\underset{x\to M+}{\lim}f(x)=\underset{x\to M}{\lim}f(x)),得到δ>0\exist\delta>0使得ff(Mδ,M+δ)(M-\delta,M+\delta)中恒正,表明MδM-\delta也是AA的上界,出现矛盾.

假设不成立.

证毕.

/Theorem/ (介值定理——连续函数可取到一切介值)

ff[a,b][a,b]上连续,设vv介于f(a)f(a)f(b)f(b)之间(介值),则x[a,b]\exist x\in[a,b],使得f(x)=vf(x)=v.

/Proof/

考虑g(x)=f(x)vg(x)=f(x)-v,再用前述定理即可.

/Claim/ (Brouwer不动点定理——一维版本)

f:[0,1][0,1]f:[0,1]\to[0,1]连续,则ff必有不动点.

/Proof/

g(x)=f(x)xg(x)=f(x)-x连续,因为定义域和值域都是[0,1][0,1],一定有

g(0)=f(0)00g(0)=f(0)-0\geq0g(1)=f(1)10g(1)=f(1)-1\leq0.

所以00g(0)g(0)g(1)g(1)的介值. 由介值定理得到g(x)=0\exist g(x)=0 \Longleftrightarrow f(x)=x\exist f(x)=x.

上面这个定理是Brouwer在上个世纪20年代发现的,其二维版本是:设f:DDf:D\to DDD为闭圆盘)且连续,则ff必有不动点.


高等微积分笔记 Lesson 10
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作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年10月18日
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