高等微积分 Lesson 10
连续性
f在x0处连续 ⟺ x→x0limf(x)=f(x0)
⟺ ∀ε>0,∃δ>0,∀∣x−x0∣<δ,使得∣f(x)−f(x0)∣<ε.
/Claim/ (用序列极限刻画连续性)
f在x0处连续 ⟺ 若n→∞limxn=x0,则n→∞limf(xn)=f(x0).
/Proof/
先证明“⟹”:设f在x0处连续,设n→∞limxn=x0,D为定义域,则有复合极限
Z+⟶hD⟶fR
n→∞limh(n)=x0,x→x0limf(x)=f(x0)且修正2成立,由复合极限定理得到命题成立.
再证明“⟸”:设右侧的命题P成立,求证x→x0limf(x)=f(x0). 为此,考虑 Heine Theorem ,其中说“x→x0limf(x)=f(x0) ⟺ ∀{yn=x0}且n→∞limyn=x0的序列有n→∞limf(yn)=f(x0)”
上面的定理右侧恰好是命题P的特例,当然成立,由此证明了x→x0limf(x)=f(x0).
证毕.
下面就得到一个推论:连续函数与序列极限可交换. 也就是说,设f是连续函数,则n→∞limf(xn)=f(n→∞limxn),当然前提是n→∞limxn存在.
上面推论的证明实际上就是命题的“⟹”部分.
回忆压缩映像定理,最后一段证明实际上使用这里的这个推论.
设(X,d)是完备度量空间,T:X→X压缩,要求:
T连续:验证T在x0处的连续性(用ε−δ语言)
∀ε>0,取δ=ε/c,从而∀d(x,x0)<δ,有
d(Tx,Tx0)≤cd(x,x0)<cδ=ε
(压缩映射是连续的)
任取x0∈X,定义xn=T(n)(x0),先验证{xn}是Cauchy列,再由X是完备度量空间,证明n→∞limxn=z(存在).
在学习完上面的推论之后,我们就可以这样进行最后一步证明:由T连续,得到
T(z)=T(n→∞limxn)=exchangen→∞limT(xn)=n→∞limxn+1=z
证毕.
我们还要继续讨论不连续能“坏”到什么程度.
/Definition/
称x0是f的连续点 ⟺ f在x0处连续;
称x0是f的间断点 ⟺ f在x0处不连续.
间断点有两种可能的情形:
- 存在x→x0limf(x),但是不等于f(x0).
- x→x0limf(x)不存在.
对于第1类间断点,可以修改f为f~,要求
f~(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧f(x),∀x=x0x→x0limf(x)=L,x=x0
则f~在x0处连续,所以我们可以称第1类间断点为“可去间断点”.
对于第2类间断点,我们叫做“本质间断点”(essential).
以后经常要通过修改f的方式去掉第1类间断点.
下面还要做一些术语上的约定:
- 在有一些比较老的教材上,会称定义域D之外的点x0为f的间断点,也就是说只要x→x0limf(x)不存在,就称x0为间断点.
- 我们的课上讨论的连续点和间断点坚持x0∈D.
连续函数的局部性质
/Theorem/ (四则运算保持连续)
四则运算几乎会保持连续性. 这个“几乎”来自于除法的一些分母不为零的要求.
设f,g在x0处连续,则
f±g在x0处连续.
fg在x0处连续.
注记:注意记号的差别,f∘g是复合,(f∘g)(x)=f(g(x)),而函数乘法写作fg或者f⋅g,相当于逐点做乘法,(fg)(x)=f(x)⋅g(x).
若g(x0)=0,则f/g在x0处连续.
/Proof/
仅仅对3.进行证明. 由于
x→x0limgf=x→x0limg(x)x→x0limf(x)=g(x0)f(x0)=gf(x0)
证毕.
推论:设f,g∈C(D,R),则有f±g,f⋅g∈C(D,R),记V={x∈D∣g(x)=0}为g的零点集,则有f/g∈C(D−V,R). 这是显然的.
/Theorem/
复合保持连续性,连续映射的复合仍然连续.
回顾:对逐点连续性的定义较为狭隘,我们应该如何使这个定义适用于一般的D?
(比如在D边缘上的一点,其开球邻域会有一部分落在D之外)
/Definition/
对一般的定义域D,称f:D→R在x0处连续,若∀ε>0,∃δ>0,使得f[Bδ(x0)∩D]⊆Bε(f(x0)).
称f是D上的连续映射(记为f∈C(D,R)=C(D)),如果f在D上每点处连续.
/Theorem/
设f:D→E在x0处连续,
也就是说,f在x0处不“撕开”.
g:E→F在f(x0)处连续,
也就是说,g在f(x0)处不“撕开”.
则g∘f:D→F在x0处连续.
也就是说,g∘f在x0处不“撕开”.
/Proof/
由g在f(x0)处连续知,∀ε>0,∃δ1>0使得g[Bδ1(f(x0))∩E]⊆Bε((g∘f)(x0)).
用f在x0处连续定义知对于上述δ1>0,∃δ>0使得f[Bδ(x0)∩D]⊆Bδ1(f(x0)).
由f像点取值在E中,有f[Bδ(x0)∩D]⊆Bδ1(f(x0))∩E.
把上面几句话“接”在一起即得证.
证毕.
推论:连续映射的复合是连续的.
由这两个局部性质,可建立一般初等函数的连续性.
/Example/
有理函数f(x)=P(x)/Q(x)(P(x),Q(x)为多项式)在分母零点外连续.
/Proof/
IdR连续(恒同映射连续),可以用ε−δ语言证明;
IdRn=xn(n∈Z≥0)连续(来自n个IdR之积);
多项式P(x)=i=0∑naixi连续(是n个单项式之和);
P(x)/Q(x)在分母零点外连续.
证毕.
从这里我们越来越意识到,之后的定理和内容,都是在把所学过的定理和命题“连接”起来,形成最后的证明,这是一个基本的思路.
/Example/
设u(x)连续且为正,v(x)连续. 求证u(x)v(x)连续.
/Proof/
方法1:
对于∀x0,有
x→x0limu(x)v(x)=claim proved in the last class(x→x0limu(x))x→x0limv(x)=u(x0)v(x0)
得证.
方法2:
u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)
u(x)连续,复合ln(⋅) ⟹ lnu(x)连续 ⟹ v(x)lnu(x)连续,之后再复合一次.
得证.
证毕.
连续函数的整体性质
- 介值定理——连通性
- 有界性定理——紧致性
- 最值定理——紧致性
这些性质在100年前左右被提炼出来,形成topology.
为方便证明,对R完备性再给出等价的叙述.
/Theorem/ (区间套原理)
设有闭区间下降链:[a1,b1]⊇[a2,b2]⊇⋯,且n→∞lim(bn−an)=0,则n=1⋂∞[an,bn]是单点集{c},且c=n→∞liman=n→∞limbn.
/Proof/
由闭区间下降链的定义,有
a1≤a2≤⋯≤an≤bn≤⋯≤b2≤b1
由MCT就能证明n→∞liman、n→∞limbn存在,再由n→∞lim(bn−an)=0,得到两者极限为同一个值c.
验证n=1⋂∞[an,bn]={c}:
一方面,对于固定的n,有an≤am,∀m≥n(由an↑). 再由极限不等式得到an≤n→∞liman=c;类似地,bn≥n→∞limbn=c.
这表明这个无穷交集非空,有{c}⊆n=1⋂∞[an,bn].
另一方面,来证明n=1⋂∞[an,bn]. 考虑∀x∈n=1⋂∞[an,bn],满足an≤x≤bn,∀n,这就表明c=n→∞liman≤x≤n→∞limbn=c,也就是x=c.
这表明n=1⋂∞[an,bn]⊆{c}.
证毕.
介值定理
/Theorem/
设f在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0(异号),则∃c∈(a,b),使得f(c)=0.
/Proof/
反证法. 设f在(a,b)上处处非零,不妨设f(a)<0<f(b)(另外的情况可以考虑−f),从而在闭区间[a,b]上,可以得到[a,2a+b]左负右正,或者[2a+b,b]左负右正.
定义闭区间下降链[an,bn]满足f(an)<0<f(bn),且bn−an=(b−a)/2n−1,令[a1,b1]=[a,b].
下降的规则是:
- 若f(2an+bn)>0,则令[an+1,bn+1]=[an,2an+bn];
- 若f(2an+bn)<0,则令[an+1,bn+1]=[2an+bn,bn].
这个区间套最终会形成一个单点集{c},f(c)=f(n→∞liman)=n→∞limf(an)<0,而且f(c)=f(n→∞limbn)=n→∞limf(bn)>0,矛盾.
假设不成立,所以一定存在c∈(a,b)使得f(c)=0.
证毕.
能不能不使用区间套?考虑一个比较“绕”的证明方法,用到一些比较朴素的思想.
/Proof/
反证法. 设f处处非零,不妨设f(a)<0<f(b).
定义A={x∈[a,b]:f(x)<0},由a∈A,且A有上界b,由确界定理得到A有上确界supA=M.
在我们朴素的想法中,M就是f(x)从负到正转变的点.
由定义,M≥a且M≤b,所以M∈[a,b]⊆f的定义域.
来考虑f(M),假设f(M)=0(这是反证法的要求).
由x→a+limf(x)=f(a)<0,知∃δ>0使得f在[a,a+δ)上处处负,所以[a,a+δ)⊆A,得到M=supA>a.
同理M=supA≤b−δ′<b.
所以这个“转变点”(临界点)在中间,而不在端点.
而且f(M)=x→M+limf(x)≥0,又有f(M)=0得到f(M)>0,利用这一点,还有f的连续性(使得x→M+limf(x)=x→Mlimf(x)),得到∃δ>0使得f在(M−δ,M+δ)中恒正,表明M−δ也是A的上界,出现矛盾.
假设不成立.
证毕.
/Theorem/ (介值定理——连续函数可取到一切介值)
设f在[a,b]上连续,设v介于f(a),f(b)之间(介值),则∃x∈[a,b],使得f(x)=v.
/Proof/
考虑g(x)=f(x)−v,再用前述定理即可.
/Claim/ (Brouwer不动点定理——一维版本)
设f:[0,1]→[0,1]连续,则f必有不动点.
/Proof/
令g(x)=f(x)−x连续,因为定义域和值域都是[0,1],一定有
g(0)=f(0)−0≥0,g(1)=f(1)−1≤0.
所以0是g(0),g(1)的介值. 由介值定理得到∃g(x)=0 ⟺ ∃f(x)=x.
上面这个定理是Brouwer在上个世纪20年代发现的,其二维版本是:设f:D→D(D为闭圆盘)且连续,则f必有不动点.