高等微积分笔记 Lesson 6

本文最后更新于 2024年9月27日 下午

高等微积分 Lesson 6

Cauchy收敛准则

/Definition/

{xn}\{x_n\}是Cauchy序列,若ε>0\forall\varepsilon>0NZ+\exist N\in\Z_+m,nN\forall m,n\geq Nxmxn<ε|x_m-x_n|<\varepsilon.

/Theorem/

R\R中任何Cauchy列都有极限. 即{xn}\{x_n\}收敛 \Longleftrightarrow {xn}\{x_n\}是Cauchy列.

/Proof/

上节课已经证明完充分性,现在证必要性,也就是从右至左证明. 显然只能使用夹逼定理.

an=inf{xn,xn+1,}a_n=\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}bn=sup{xn,xn+1,}b_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}. 则有如下几个结论:

  1. anxnbna_n\leq x_n\leq b_n.
  2. a1a2anbnb2b1a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n\leq b_n\leq\cdots\leq b_2\leq b_1.

{an}\{a_n\}{bn}\{b_n\}是单调且有界的,故由MCT可知,均有极限. limnan=A\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=Alimnbn=B\underset{n\to\infty}{\lim}b_n=B.

接下来证明A=BA=B. 首先,ABA\leq B是显然的.

对于ABA\geq B的证明,我们只能应用Cauchy列的定义,

草稿:关心BAB-Abnan\approx b_n-a_nsupinf\approx\sup-\infsup{xkxl}\approx\sup\{x_k-x_l\}k,lnk,l\geq n).

定义nN\forall n\geq N,令X={xn,xn+1,}X=\{x_n,x_{n+1},\cdots\}.

引理:sup(XY)=supXinfY\sup(X-Y)=\sup X-\inf Y.

/Proof/

xX\forall x\in XyY\forall y\in YxysupXinfYx-y\leq\sup X-\inf Y,说明是上界.

接下来说明是最小上界:ε>0\forall\varepsilon>0c=supXinfYε\forall c=\sup X-\inf Y-\varepsilon不是上界.

supX\sup X定义,supXε/2<x\sup X-\varepsilon/2<x,同理,y\exist yy<infY+ε/2y<\inf Y+\varepsilon/2. 从而存在xy>(supXε/2)(infY+ε/2)=supXinfYεx-y>(\sup X-\varepsilon/2)-(\inf Y+\varepsilon/2)=\sup X-\inf Y-\varepsilon.

是最小上界.

证毕.

考虑sup(XX)\sup(X-X),则有sup(XX)=supXinfX=bnan\sup(X-X)=\sup X-\inf X=b_n-a_n. 由定义知道,XX中任意两项之差<ε<\varepsilon,表明ε\varepsilon(XX)(X-X)的上界.

从而sup(XX)ε\sup(X-X)\leq\varepsilon,进而bnan<εb_n-a_n<\varepsilonnN\forall n\geq N). 用极限不等式,

BA=limn(bnan)ε,ε>0B-A=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)\leq\varepsilon\,,\quad\forall\varepsilon>0

BA0B-A\geq0,所以BA=0B-A=0.

由夹逼定理,{xn}\{x_n\}的极限limnxn=A=B\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=A=B. 必要性得证.

证毕.

注意,Cauchy收敛准则是充分必要条件,而MCT是充分不必要条件.

/Example/

xn=cosθ12++cosnθn2x_n=\frac{\cos\theta}{1^2}+\cdots+\frac{\cos n\theta}{n^2},证明收敛.

/Proof/

用Cauchy准则,只需证{xn}\{x_n\}是Cauchy列.

为此ε>0\forall\varepsilon>0,取定NN.

草稿:m>nN\forall m>n\geq N

xmxn=k=n+1mcoskθk2k=n+1m1k2<k=n+1m1k(k1)=1n1m<1n1N<ε\begin{aligned} |x_m-x_n|&=|\sum_{k=n+1}^m\frac{\cos k\theta}{k^2}|\\\\ &\leq\sum_{k=n+1}^m\frac{1}{k^2}<\sum_{k=n+1}^m\frac{1}{k(k-1)}\\\\ &=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}<\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\varepsilon \end{aligned}

NN取为1/ε+1\lfloor1/\varepsilon\rfloor+1即可.

证毕.

接下来看一个untrivial的例子:

在一般度量空间也可定义点列极限&Cauchy列.

/Definition/

所谓一个度量空间,是指集合XX和度量d:X×XR>0d:X\times X\to\R_{>0},度量指的是XXx,yx,y两点间的距离.

满足如下度量公理:

  1. 对称性:d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)x,yX\forall x,y\in X.
  2. 正定性:d(x,y)=0d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=yx=y.
  3. 三角不等式:d(x,y)+d(y,z)d(x,z)d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z). (两边之和大于第三边)

其中三角不等式是核心内容.

记上述度量空间为(X,d)(X,d),上下文明确时,简记为XX.

/Example/

Euclidian空间,度量定义为d(x,y)=k=1n(xkyk)2d(\bold{x},\bold{y})=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2}.

/Example/

二维球面,度量定义为连接两点之间的大圆弧的劣弧长度.

/Definition/

{xn}n=1\{x_n\}_{n=1}^\infty是度量空间(X,l)(X,l)中的一个无穷点列,称{xn}\{x_n\}收敛于LXL\in X,若ε>0\forall\varepsilon>0NZ+\exist N\in\Z_+nN\forall n\geq N,有d(xn,L)<εd(x_n,L)<\varepsilon.

有了上面的定义,我们就可以定义Cauchy列:

/Definition/

d(xn,xm)<εd(x_n,x_m)<\varepsilon,对于ε>0\forall\varepsilon>0NZ+\exist N\in\Z_+n,mN\forall n,m\geq N.

由此知,{xn}\{x_n\}收敛 \Longrightarrow {xn}\{x_n\}是Cauchy列.

/Proof/ 同上节课证明.

注意:一般(X,d)(X,d)中Cauchy列未必收敛!

/Example/

X=QX=\mathbb{Q}d(x,y)=xyd(x,y)=|x-y|,在R\R中的数列收敛于2\sqrt2,那么其在R\R中是Cauchy列,于是在Q\mathbb{Q}中也是Cauchy列,但是它在Q\mathbb{Q}中显然不收敛.

称一个度量空间是完备的,当且仅当其中的Cauchy列收敛.

接下来要讲压缩映像定理. 这个定理在本课程中将用到两次:

  1. 多元函数的反函数Theorem
  2. ODE(一元常微分方程)的初值问题有唯一短期解

目标:证明自映射T:XXT:X\to X有不动点(不动点T(x)=xT(x)=x).

/Theorem/ (压缩映像)

(X,d)(X,d)是完备的度量空间,T:XXT:X\to X是一个压缩映射(即\exist常数0<c<10<c<1,使得对x,yX\forall x,y\in Xd(T(x),T(y))cd(x,y)d(T(x),T(y))\leq c\cdot d(x,y)),则TT有唯一不动点.

怎么找这个不动点呢?我们不断地去对一个点x1x_1TT映射,则每一次的结果xnx_n都与上一次的结果越来越近,我们越来越有理由说我们找到不动点了. 我们猜测limnxn\underset{n\to\infty}{\lim}x_n是不动点.

/Proof/

任取x0Xx_0\in X

/Definition/

{xn}n=0\{x_n\}_{n=0}^\inftyxn+1=T(xn)x_{n+1}=T(x_n)n0\forall n\geq0.

因为度量空间是完备的,所以只需证明是Cauchy列就能证明存在极限uu.

我们的证明需要3步:

  1. 证明{xn}\{x_n\}是Cauchy列
  2. 证明T(u)=uT(u)=u
  3. 证明不动点的唯一性

我们先来证第2步:

d(T(xn),T(u))cd(xn,u)d(T(x_n),T(u))\leq c\cdot d(x_n,u) ()(*)

引理:limnxn=u\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u \Longleftrightarrow limnd(xn,u)=0\underset{n\to\infty}{\lim}d(x_n,u)=0

/Proof/

RHSd(xn,u)0<εd(xn,u)<εlimnxn=u\begin{aligned} \text{RHS}&\Longleftrightarrow|d(x_n,u)-0|<\varepsilon\\\\ &\Longleftrightarrow d(x_n,u)<\varepsilon\\\\ &\Longleftrightarrow\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u \end{aligned}

即为LHS\text{LHS}.

证毕.

limnxn=u\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u,得到limnd(xn,u)=0\underset{n\to\infty}{\lim}d(x_n,u)=0.

()(*)式使用夹逼定理,得到limnd(T(xn),T(u))=0\underset{n\to\infty}{\lim}d(T(x_n),T(u))=0.

所以limnT(xn)=T(xn)\underset{n\to\infty}{\lim}T(x_n)=T(x_n),即limnT(u)=T(u)=limnxn=u\underset{n\to\infty}{\lim}T(u)=T(u)=\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u.

证毕.

第3步:

反证法,假设有u,vu,v两个不动点,则

d(T(u),T(v))=d(u,v)cd(u,v)d(T(u),T(v))=d(u,v)\leq c\cdot d(u,v)

只能有u=vu=v.

证毕.

最后来证第1步:

m>n\forall m>n有:d(T(n)(xmn),T(n)(x0))cnd(xmn,x0)d(T^{(n)}(x_{m-n}),T^{(n)}(x_0))\leq c^n\cdot d(x_{m-n},x_0) ()(*)

d(x0,xk)d(x0,x1)+d(x1,x2)++d(xk1,xk)d(x0,x1)+cd(x0,x1)++ck1d(x0,x1)=(1+c++ck1)d(x0,x1)11cd(x0,x1)\begin{aligned} d(x_0,x_k)&\leq d(x_0,x_1)+d(x_1,x_2)+\cdots+d(x_{k-1},x_k)\\\\ &\leq d(x_0,x_1)+c\cdot d(x_0,x_1)+\cdots+c^{k-1}\cdot d(x_0,x_1)\\\\ &=(1+c+\cdots+c^{k-1})d(x_0,x_1)\\\\ &\leq\frac{1}{1-c}d(x_0,x_1) \end{aligned}

进而由()(*)式得,

d(xm,xn)cnd(x0,xmn)cn1cd(x0,x1),m>nd(x_m,x_n)\leq c^n\cdot d(x_0,x_{m-n})\leq\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)\,,\quad\forall m>n

这个式子称为()(**)式.

上面这个式子表明{xn}\{x_n\}是Cauchy列,因为

ε>0\forall\varepsilon>0,由limncn1cd(x0,x1)=0<ε\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)=0<\varepsilon,知NZ+\exist N\in\Z_+nN\forall n\geq N

cn1cd(x0,x1)<ε\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)<\varepsilon

进而应用()(**)m>nN\forall m>n\geq N有:

d(xm,xn)cn1cd(x0,x1)<εd(x_m,x_n)\leq\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)<\varepsilon

完成验证.

证毕.

证毕.

上、下极限

回忆在Cauchy准则的证明中,使用如下方法:

{xn}\{x_n\},定义an=inf{xn,xn+1,}a_n=\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\},且ana_n单调递增、有上界,则存在limnan=A\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=A,这称为{xn}\{x_n\}的下极限.

/Definition/

对任何实数数列{xn}\{x_n\},定义

an={inf{xn,},ifinf{xn,},elsea_n=\left\{\begin{array}{lr} \inf\{x_n,\cdots\}\,,\quad\text{if}\,\exist\inf\{x_n,\cdots\}\\ -\infty\,,\quad\text{else} \end{array}\right.

(严格定义下极限,虽然我个人认为这个太严格了没必要)
(不行,后面可能要用)

注记:若nZ+\exist n\in\Z_+anRa_n\in\R,则{xn,}\{x_n,\cdots\}有下界,对于mn\forall m\geq n{xm,}\{x_m,\cdots\}当然有下界;而对于m<n\forall m<n,只要是增加有限项,仍然存在下界.

可知,{an}\{a_n\}只有两种可能,1.是每一项均为-\infty,2.是每一项均R\in\R.

对于第2.种情况,也要分类讨论,若{an}\{a_n\}无上界,则下极限为++\infty,若有上界,下极限是limnan\underset{n\to\infty}{\lim}a_n.

统一形式化为:

下极限

liminfnxn=limn(inf{xn,xn+1,})={,inf{xn,xn+1,}+,inf{xn,xn+1,},sup{an}liman,inf{xn,xn+1,},sup{an}\begin{aligned} \underset{n\to\infty}{\lim\inf}x_n&=\underset{n\to\infty}{\lim}(\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\})\\\\ &=\left\{\begin{array}{lr} -\infty\,,\quad\nexists\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\\ +\infty\,,\quad\exist\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\nexists\sup\{a_n\}\\ \lim a_n\,,\quad\exist\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\exist\sup\{a_n\} \end{array}\right. \end{aligned}

上极限(同理)

limsupnxn=limn(sup{xn,xn+1,})={+,sup{xn,xn+1,},sup{xn,xn+1,},inf{bn}limbn,sup{xn,xn+1,},inf{bn}\begin{aligned} \underset{n\to\infty}{\lim\sup}x_n&=\underset{n\to\infty}{\lim}(\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\})\\\\ &=\left\{\begin{array}{lr} +\infty\,,\quad\nexists\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\\ -\infty\,,\quad\exist\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\nexists\inf\{b_n\}\\ \lim b_n\,,\quad\exist\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\exist\inf\{b_n\} \end{array}\right. \end{aligned}

注记:与极限不同,任何数列{xn}\{x_n\}皆可定义上/下极限,而极限未必存在.

之后讲幂级数收敛半径的Cauchy-Hadamard公式需要上极限:anxn\sum a_nx^n的收敛半径为

1limsupn(ann)\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\lim\sup}(\sqrt[n]{|a_n|})}

/Claim/

{xn}\{x_n\}收敛 \Longleftrightarrow limsupnxn=liminfnxnR\underset{n\to\infty}{\lim\sup}x_n=\underset{n\to\infty}{\lim\inf}x_n\in\R

/Proof/

证明“\Longleftarrow

由上,下极限定义,再用夹逼定理,即证.

证毕.

证明“\Longrightarrow

{xn}\{x_n\}收敛,记limnxn=L\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=L. 由定义,ε>0\forall\varepsilon>0NZ+\exist N\in\Z_+xN\forall x\geq NLε<xn<L+εL-\varepsilon<x_n<L+\varepsilon.

表明xN\forall x\geq Nbn=sup{xn,xn+1,}L+εb_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\leq L+\varepsilon,下界同理,取极限:

limnbnL+ε\underset{n\to\infty}{\lim}b_n\leq L+\varepsilon,这说明:

LεlimnanlimnbnL+εlimnan=limnbn=L\begin{aligned} L-\varepsilon\leq\underset{n\to\infty}{\lim}a_n&\leq\underset{n\to\infty}{\lim}b_n\leq L+\varepsilon\\\\ \underset{n\to\infty}{\lim}a_n&=\underset{n\to\infty}{\lim}b_n=L \end{aligned}

证毕.

证毕.

计算极限的其他方法——Stolz定理

这个定理实际上是L’Ho^pital\text{L'H}\hat{\text{o}}\text{pital}法则的离散版本.

先来说一说L’Ho^pital\text{L'H}\hat{\text{o}}\text{pital}法则:

/Theorem/

有两种情形:

  1. limf=0\lim f=0limg=0\lim g=0,称为0/00/0型,此时有

    limfg=limfg\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}

  2. limg=\lim g=\infty,称为?/?/\infty型,此时有

    limfg=limfg\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}

类比上述定理,可以写出Stolz定理:

/Theorem/

  1. 0/00/0型:设{an}\{a_n\}{bn}\{b_n\}收敛于00,则

    limnanbn=limnan+1anbn+1bn\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}

  2. ?/?/\infty型:设{bn}\{b_n\}单调递增且无上界,则

    limnanbn=limnan+1anbn+1bn\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}


高等微积分笔记 Lesson 6
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作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年9月27日
更新于
2024年9月27日
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