高等微积分笔记 Lesson 5

本文最后更新于 2024年9月27日 下午

高等微积分 Lesson 5

仍然是从极限的计算方法开始讲课.

极限计算方法

夹逼定理

/Theorem/

anbncna_n\leq b_n\leq c_nnN0\forall n\geq N_0),若liman=limcn=L\lim a_n=\lim c_n=L,则可知limbn\lim b_n存在且等于LL.

/Moreover/

  1. 适用于{bn}\{b_n\}复杂,但有简单上下界的情况.
  2. 不需要验证{bn}\{b_n\}有极限,定理结论保证了这一点.

在wiki上说,东欧语系里面称这个定理为“两个警察与一个醉汉”定理.

/Example/

a1,a2,,ak>0a_1,a_2,\cdots,a_k>0,则证明:

lim(a1n+a2n++akn)1/n=max{an}\lim(a^n_1+a^n_2+\cdots+a_k^n)^{1/n}=\max\{a_n\}

/Proof/

不妨假设a1=max{an}a_1=\max\{a_n\},则

a1<(a1n++akn)1/nk1/na1a_1<(a^n_1+\cdots+a_k^n)^{1/n}\leq k^{1/n}a_1

由夹逼定理就知道,中间的极限值为a1=max{an}a_1=\max\{a_n\}.

/Example/

条件同上例,但是求证:

lim(a1n+a2n++akn)1/n=min{an}\lim(a^{-n}_1+a^{-n}_2+\cdots+a_k^{-n})^{-1/n}=\min\{a_n\}

/Proof/

化为倒数,再使用上例结论即可.


问:以上几种方法均基于能猜出极限值,若猜不出极限值,如何判断收敛?

/Example/ (Euler)

limn(1+1/n)n=?\underset{n\to\infty}{\lim}(1+1/n)^n=?

这时我们有两种方法:

  1. 单调收敛定理 Monotone Convergence Theorem (MCT)

    又称Weierstrass定理.

  2. Cauchy收敛准则.

本节课主要目的在于证明上述两个定理并进行应用.

Weierstrass Theorem

/Theorem/

有上界且递增的实数列一定收敛,有下界且递减的实数列一定收敛.

/Proof/

{xn}\{x_n\}单调递增,且有上界cc.

考虑X={xn/nZ+}X=\{x_n/n\in\Z_+\}(步点的集合),则XX是有上界的非空实数集.

由确界定理,supX\sup X存在,记为MM.

来证明limxn=M\lim x_n=Mε>0\forall\varepsilon>0MεM-\varepsilon不是XX上界,则xN>Mε\exist x_N>M-\varepsilon,从而nN\forall n\geq N,有Mε<xNxnMM-\varepsilon<x_N\leq x_n\leq M.

于是xnM<ε|x_n-M|<\varepsilonxN\forall x\geq N,表明limnxn=M\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=M.

证毕.

/Example/

上面的Euler给出的例子:xn=(1+1/n)nx_n=(1+1/n)^n,求证收敛.

/Proof/

  1. 先证明有上界. 做二项式展开:

    xn=(1+1n)n=1+Cn11n+Cn2(1n)2++Cnn(1n)n=1+k=1nn(n1)(nk+1)k!nk<1+k=1n1k!1+1+11×2+12×3++1(n1)n=31n\begin{aligned} x_n&=(1+\frac{1}{n})^n=1+C^1_n\frac{1}{n}+C_n^2(\frac{1}{n})^2+\cdots+C_n^n(\frac{1}{n})^n\\\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!n^k}\\\\ &<1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\\\\ &\leq1+1+\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)n}\\\\ &=3-\frac{1}{n} \end{aligned}

    其中最后几步用到放缩和裂项.

  2. 证明{xn}\{x_n\}单调. 这也就是证明

    (1+1n)n(1+1n+1)n+1(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}

    算数-几何平均不等式,假设xi0x_i\geq0,有

    x1++xnnx1xnn\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}

    当且仅当xix_i全部相等时取等.

    由此,

    (1+1n)nn+1=(1+1n)(1+1n)1n+1(1+1/n)n+1n+1=1+1n+1\begin{aligned} \sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n}&=\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})\cdots(1+\frac{1}{n})\cdot1}\\\\ &\leq\frac{(1+1/n)\cdot n+1}{n+1}\\\\ &=1+\frac{1}{n+1} \end{aligned}

    得证.

由MCT知limn(1+1/n)n\underset{n\to\infty}{\lim}(1+1/n)^n存在.

证毕.

我们称这个极限值为Euler的数,记为ee,又称为自然对数的底数.

(注意与Euler常数γ=limn(1/1+1/2++1/nlnn)\gamma=\underset{n\to\infty}{\lim}(1/1+1/2+\cdots+1/n-\ln n)区分)

但是,ee的定义式收敛的速度非常缓慢,到达十万项仍有较大的误差,所以我们需要找到一个更好的逼近方法.

/Claim/

yn=1+1/1!+1/2!++1/n!y_n=1+1/1!+1/2!+\cdots+1/n!,则limnyn=e\underset{n\to\infty}{\lim}y_n=e.

这个数列收敛速度快得多,十项左右就能得到精确度很高的结果. 接下来我们对这个命题进行证明.

/Proof/

  1. 先证明{yn}\{y_n\}有极限. 上面证明过xnyn<3x_n\leq y_n<3,又显然有{yn}\{y_n\}单调递增,由MCT知limnyn\underset{n\to\infty}{\lim}y_n存在.

    由极限不等式知,e=limnxnlimnyn=Ye=\underset{n\to\infty}{\lim}x_n\leq\underset{n\to\infty}{\lim}y_n=Y.

  2. 来证明YeY\leq e(从而Y=eY=e). 对于固定nnyney_n\leq e.(n\forall n

    为此,注意到e=limnxne=\underset{n\to\infty}{\lim}x_n,用xnx_n近似ee. 对mn\forall m\geq n

    xm=(1+1m)m=1+k=1mCmk(1m)k1+k=1nCmk(1m)k=1+k=1n1k!m(m1)(nk+1)mmm\begin{aligned} x_m&=(1+\frac{1}{m})^m=1+\sum_{k=1}^mC_m^k(\frac{1}{m})^k\\\\ &\geq1+\sum_{k=1}^nC_m^k(\frac{1}{m})^k\\\\ &=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{m(m-1)\cdots(n-k+1)}{mm\cdots m} \end{aligned}

    后面求和的项数为nn. 做四则运算:

    e=limnxnlimn(1+k=1n1k!m(m1)(nk+1)mmm)=1+k=1n1k!limmm(m1)(nk+1)mmm=1+k=1n1k!1yn\begin{aligned} e&=\underset{n\to\infty}{\lim}x_n\\\\ &\geq\underset{n\to\infty}{\lim}(1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{m(m-1)\cdots(n-k+1)}{mm\cdots m})\\\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\underset{m\to\infty}{\lim}\frac{m(m-1)\cdots(n-k+1)}{mm\cdots m}\\\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\cdot1\geq y_n \end{aligned}

    得证.

这就证明了limmyn=e\underset{m\to\infty}{\lim}y_n=e.

证毕.

注记:以后可用Taylor展开直接证明.

/Claim/

eQe\notin\mathbb{Q}.

/Proof/

先建立ee的估计.

引理:

mn+1m\geq n+1ymyn+1y_m\geq y_{n+1},极限不等式e=limmymymyn+1>yne=\underset{m\to\infty}{\lim} y_m\geq y_m\geq y_{n+1}>y_n.

ymyn=1(n+1)!++1m!=1(n+1)!(1+1n+2+1(n+2)(n+3)++1(n+2)m)1(n+1)!(1+1n+2+1(n+2)(n+3)++1(m1)m)=1(n+1)!(1+2n+21m)<1(n+1)!(1+2n+2)<2(n+1)!\begin{aligned} y_m-y_n&=\frac{1}{(n+1)!}+\cdots+\frac{1}{m!}\\\\ &=\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}\\\\ &\quad\,+\cdots+\frac{1}{(n+2)\cdots m})\\\\ &\leq\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}\\\\ &\quad\,+\cdots+\frac{1}{(m-1)m})\\\\ &=\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{2}{n+2}-\frac{1}{m})\\\\ &<\frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{2}{n+2})\\\\ &<\frac{2}{(n+1)!} \end{aligned}

nn\to\infty极限,e2/(n+1)!e\leq2/(n+1)!.

来证明eQe\notin\mathbb{Q}.

反证法,假设eQe\in \mathbb{Q}

e=A/Be=A/BA,BZ+A,B\in\Z_+). 由引理,

0<eyB2(B+1)!=2B+11B!<1B!e(1+1+12!,1+1+12!+23!]=(2.5,2.83˙]\begin{aligned} &0<e-y_B\leq\frac{2}{(B+1)!}=\frac{2}{B+1}\cdot\frac{1}{B!}<\frac{1}{B!}\\\\ &e\in(1+1+\frac{1}{2!},1+1+\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}]=(2.5,2.8\dot{3}] \end{aligned}

这样可以看出B1B\neq12\neq2,故B3B\geq3.

上面表明,

0<AB(1+11!++1B!)<1B!0<\frac{A}{B}-(1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{B!})<\frac{1}{B!}

证明(0,1)(0,1)之间存在一个整数,矛盾.

eQe\notin\mathbb{Q}.

证毕.

Cauchy收敛准则

因为不知道极限LL,所以只能用xnx_nxn+1x_{n+1}来表达收敛.

/Definition/

{xn}n=1\{x_n\}^{\infty}_{n=1}为一个Cauchy列,如果ε>0\forall\varepsilon>0NZ+\exist N\in\Z_+m,nN\forall m,n\geq N,有xmxn<ε|x_m-x_n|<\varepsilon.

/Theorem/(Cauchy收敛准则/原理)

{xn}\{x_n\}收敛 \Longleftrightarrow {xn}\{x_n\}是Cauchy列.

/Proof/

为此,

  1. 先证{xn}\{x_n\}有界.

    由Cauchy列定义,对ε=1\varepsilon=1N\exist Nm,nN\forall m,n\geq Nxmxn<1|x_m-x_n|<1. 特别取m=Nm=N,可知nN\forall n\geq NxnxN<1|x_n-x_N|<1,也就是xn<xN+1x_n<x_N+1,有上界,类似地也可以证明有下界.

  2. 来证{xn}\{x_n\}收敛. 由1.结论,{xn}\{x_n\}有上下界,使用确界定理,sup{xn}=bn\sup\{x_n\}=b_ninf{xn}=an\inf\{x_n\}=a_n存在.

……没有讲完……


高等微积分笔记 Lesson 5
https://physnya.top/2024/09/25/integral5/
作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年9月25日
更新于
2024年9月27日
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