高等微积分笔记 Lesson 1

本文最后更新于 2024年9月13日 晚上

高等微积分 Lesson 1

这节课的内容似乎非常简单……但是我已经把电脑打开了,就当练习一下打字和markdown吧.

我收回,他开始讲范畴了(´。_。`)

说明一下,这个系列是在听艾教授的高等微积分课时所记的笔记.

微积分的起源

Archimedes,想要求一个不规则图形的面积. 当时他计算的是抛物线y=x2y=x^2下方、x=ax=a左侧的面积. 他想到的办法是竖直剖分这个图形,每一个细长条近似为一个矩形,那么这个图形的不规则性就得到了缓解. 有

S=i=1nan(ian)2=a3n3i=1ni2=a3n316n(n+1)(2n+1)=16a3(2+3n+1n2)\begin{aligned} S&=\sum_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^2=\frac{a^3}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\\\\ &=\frac{a^3}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\\\ &=\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})\\\\ \end{aligned}

nn\to\infty时,这个面积值越来越趋近于一个常数,有

S=limn16a3(2+3n+1n2)=13a3\begin{aligned} S=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{1}{3}a^3\\\\ \end{aligned}

由此,Archimedes认为,不同的表达式能得到相同的一个极限值,这说明开始虽然用了近似,但是最后我们得到的结果是一个确定的精确值.

我们也可以对kk次函数做同样的事:

S=i=1nan(ian)k=ak+1nk+1i=1nik\begin{aligned} S=\sum_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^k=\frac{a^{k+1}}{n^{k+1}}\sum_{i=1}^ni^k\\\\ \end{aligned}

/题外话/

有一个性质:立方之和等于和的平方.

我们很可惜地发现,kk值越来越大,没有一般的表达式了,手算的难度也越来越大. Archimedes当年正是停在了这个地方.

过了1000多年,Newton重新开始研究这个问题. 他总结Archimedes做过的工作是“已知高度函数h(x)h(x),要求面积S(a)S(a).”

Newton决定反过来问这个问题:“已知面积S(a)S(a),要求高度函数h(x)h(x).”

Newton让aa“流动”一点oo,考察S(a)S(a)的变化,就得到h(a)h(a). 这就有

h(x)=S(x+o)S(x)o\begin{aligned} h(x)=\frac{S(x+o)-S(x)}{o}\\\\ \end{aligned}

考虑如下例子:(用到Newton的二项式公式)

S(x)=xm(mZ+)h(x)=S(x+o)S(x)o=k=0mCmkxmkokxmoo0h(x)mxm1\begin{aligned} &S(x)=x^m\,(m\in\Z_+)\\\\ &h(x)=\frac{S(x+o)-S(x)}{o}=\frac{\sum_{k=0}^mC^k_mx^{m-k}o^k-x^m}{o}\\\\ &o\to0\Longrightarrow h(x)\to mx^{m-1}\\\\ \end{aligned}

这是Newton流数法.

Newton的结果实际上回答了Archimedes的疑问,即假如h(x)=mxm1h(x)=mx^{m-1},就可以很容易地得到S(x)=xmS(x)=x^m,这个运算是互逆的,而Newton的问题更好解决.

至此,我们能够得到更一般的关系.

S(x)=0ah(x)dx\begin{aligned} S(x)=\int_0^ah(x)\text{d}x\\\\ \end{aligned}

这也就是积分,之前的流数法实际上就是求导,以上这两个过程是互逆的. 也就是说,

(0xh(x)dx)=h(x)0xS(x)dx=S(x)S(0)\begin{aligned} (\int_0^xh(x')\text{d}x')'&=h(x)\\\\ \int_0^xS'(x')\text{d}x'&=S(x)-S(0)\\\\ \end{aligned}

上面是微积分基本定理.

到这里我们实际上已经学完了微积分的内容,包括:极限理论、导数、积分、导数与积分的关系.

集合与映射

国内教材有时不强调集合与映射的语言,这其实不好,因为实际上“变元”之类的东西根本没法定义.

(一段批判中学教材改革的话……)

/Definition/

X,YX,Y是集合,所谓一个XXYY的映射(记为f:XYf:X\to Y)是指:对每个xXx\in X,标定唯一一个YY的元素(记为f(x)f(x))与xx对应. 称上述与xx对应的YY的元素为xxff下的像.

有四个重要的内容:(课上说是五个,实际上第一个是映射的定义)

  1. (映射的复合)设f:XYf:X\to Yg:YZg:Y\to Z,则定义复合映射为gf:XZg\circ f:X\to Z(gf)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x))xX\forall x\in X.

    注意:复合映射有顺序,在内侧的映射被更早执行.

  2. (复合的结合律)映射的复合具有结合律,即h(gf)=(hg)fh\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f. 这是自明的.

  3. (恒同映射)对集合XX,有恒同映射idX:XXid_X:X\to X. (identity的缩写)指的是每个元素都映射到自己本身.

  4. 恒同映射是复合的单位. 对f:XY\forall f:X\to Y,有idXf=fidX=fid_X\circ f=f\circ id_X=f.

集合与映射构成一个“世界”,或者说范畴(Set).

快下课了,讲一点娱乐性的内容:范畴的定义.

所谓一个范畴(category)C\mathscr{C}由如下data构成:

  1. 给明C\mathscr{C}的对象(object),集合Obj(C)Obj(\mathscr{C}),称Obj(C)Obj(\mathscr{C})的元素为C\mathscr{C}的对象.
  2. X,YObj(C)\forall X,Y\in Obj(\mathscr{C}),有一个集合HomC(X,Y)\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Y),称HomC(X,Y)\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)每个成员ff为一个从XXYY的态射,记为f:XYf:X\to Y.
  3. 态射可复合,对X,Y,ZObj(C)\forall X,Y,Z\in Obj(\mathscr{C})有映射HomC(X,Y)×HomC(Y,Z)HomC(X,Z)\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)\times\text{Hom}_\mathscr{C}(Y,Z)\to\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Z). 也就是(f,g)gf(f,g)\to g\circ f,两个态射唯一地决定一个复合态射.
  4. 态射的复合是结合的,即fHom(X,Y)\forall f\in\text{Hom}(X,Y)gHom(Y,Z)g\in\text{Hom}(Y,Z)hHom(Z,W)h\in\text{Hom}(Z,W),有h(gf)=(hg)fh\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.
  5. XObj(C)\forall X\in Obj(\mathscr{C})有恒同态射idXHom(X,X)id_X\in\text{Hom}(X,X),满足fHom(X,Y)\forall f\in\text{Hom}(X,Y)fidX=idXf=ff\circ id_X=id_X\circ f=f.

f:XYf:X\to Y,此记号开始于1944年,此记号引发范畴论.


高等微积分笔记 Lesson 1
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作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年9月11日
更新于
2024年9月13日
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